Доказать, что ряд расходится
Доказать, что если an не равно 0, bn > 0 для всех n принадлежит N, ряд P bn расходится и lim an/bn = бесконечности, то ряд an тоже расходится.
Чтобы доказать расходимость ряда an, мы будем использовать признак сравнения в предельной форме.
Сначала заметим, что lim (an/bn) = ∞, следовательно, существует такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство an > bn. Поскольку bn > 0, это означает, что an > 0 при n > N.
Теперь рассмотрим ряды an и bn. Согласно признаку сравнения в предельной форме, если lim (an / bn) = ∞ и bn - положительная бесконечно большая последовательность, то an - также положительная бесконечно большая последовательность. Следовательно, ряд an также расходится, поскольку он содержит бесконечно большую часть положительных членов.
Давайте докажем это утверждение пошагово.
По условию у нас есть ряд, где an и bn > 0 для всех n принадлежащих натуральным числам (N). Также известно, что an не равно 0 для всех n принадлежащих N.
Так как lim an * bn = бесконечности, это означает, что произведение an и bn стремится к бесконечности при n, стремящемся к бесконечности.
Теперь рассмотрим ряд P bn. Так как bn > 0 для всех n и lim an * bn = бесконечности, ряд P bn расходится (так как bn не стремится к 0 и ряд P bn не сходится).
Теперь мы можем использовать признак сравнения для рядов, чтобы доказать, что ряд an также расходится. По признаку сравнения, если 0 <= an <= bn для всех n, и ряд P bn расходится, тогда и ряд an также расходится.
Поскольку мы знаем, что an больше или равно 0 и меньше или равно bn для всех n, и ряд P bn расходится, следовательно, ряд an также расходится.
Таким образом, мы доказали, что если an не равно 0, bn > 0 для всех n принадлежащих N, ряд P bn расходится и lim an * bn = бесконечности, то ряд an также расходится.