Метод вариации произвольной постоянной
Не понял, в чем суть этого способа и как им решать в принципе.
Что такое 'вариация постоянной'?
Вот пример:
y'+p(x)y=g(x) (*)
Где g(x) неоднородный член.
В видео сначала g(x) заменили нулем, затем решили однородное получившееся уравнение:
y = c*exp(-∫p(x)dx)
Затем непонятно зачем и с какой то стати положили C=C(x) (типа, что константа зависит от х? Не понял).
Затем вычисляют y', подставляют y, y' в исходное выражение (*), откуда вычисляют С(х), ну а его уже подставляют.
Ещё раз, не понял логики действий и смысла этого способа. И что мы вообще делаем по ходу решения
Есть уравненька:
y' + p y = g.
и нужно правдами или неправдами додуматься до замены, которая эту уравненьку упростит. Для начала рассматривается "вспомогательная" задача (это не значит, что мы как-то там честно преобразуем уравнение к такому виду, мы просто решили рассмотреть другое уравнение):
z' + p z = 0.
Решаем его, получаем:
z = F(x, C).
Подставляем в уравнение для z:
Fx(x, C) + p(x) F(x, C) = 0.
Теперь в исходном уравнении сделаем замену переменных:
y(x) = F(x, W(x)).
W(x) - новая искомая функция. Подставляем y в таком виде в исходное уравнение, получаем:
Fx(x, W) + Fw(x, W) W '(x) + p(x) F(x, W) = g(x),
Смотрим на соотншение для F, и сокращаем два слагаемых, остается уравнение:
Fw(x, W) W '(x) = g(x).
Для линейного исходного уравнения, например, это уравнение окажется с разделяющимися переменными, и можно будет найти W. Почему делается именно такая замена? Потому что она, очевидно, упростит уравнение (в линейном случае). Почему "вариация постоянной"? Потому что в нашей замене мы константу интегрирования из другого уравнения назначили новой искомой функцией.
-
Обычно навык решения диффурчиков базовых сводится к тому, чтобы натаскаться, и замечать подходящие замены переменных. Обосновывать выбор замены обычно и не надо... Имеем право делать любую невырожденную замену. Сработала? Хорошо.