Даны координаты вершин треугольника А (5; -5; -1) В (5; -3; -1) С (4; -3; 0). Найти косинусы углов треугольника
век. AB = B - A = ( 5-5; -3 +5; -1 +1) = ( 0; 2; 0); век. BA = - век.AB = (0; -2; 0);
AC = C - A = ( -1; 2; 1); CA = - AC = (1; - 2; -1)
BC = C - B = ( -1; 0; 1); CB = (1; 0; -1)
сosA = AB*AC/ IABI IACI
век.AB*AC =0*(-1) + 2 *2 + 0*1 = 4;
(IABI = V(0^2 +2^2+0^2) = 2; I ACI = V( (-1)^2 + 2^2 + 1^2 ) = V 6
cosA = 4 / 2v6 = 2/ v 6= 2v6/6 = v6 / 3
cosB = BA* BC / IBAI * I BC I .
BA *BC = 0 => cosB = 0 ; = > <B = 90°
cosC = CB*CA / ICAI *I CBI
CB*CA = 2 ;
ICB I = v2; ICAI = IACI = v6 = > cosC = 2/ (v2*v6) = v3 / 3 ( не забудь поставить везде знак вектора)
Чтобы найти косинусы углов треугольника по координатам его вершин в 3D, можно воспользоваться понятием соотношения направлений и точечным произведением векторов.
Сначала нужно найти соотношения направлений сторон треугольника. Коэффициенты направления отрезка прямой из точки A(x1, y1, z1) в точку B(x2, y2, z2) определяются как (x2-x1, y2-y1, z2-z1).
Для данного треугольника с вершинами A(5, -5, -1), B(5, -3, -1) и C(4, -3, 0) коэффициенты направленности сторон AB, BC и CA равны:
- AB: (Bx - Ax, By - Ay, Bz - Az) = (5 - 5, -3 - (-5), -1 - (-1)) = (0, 2, 0)
- BC: (Cx - Bx, Cy - By, Cz - Bz) = (4 - 5, -3 - (-3), 0 - (-1)) = (-1, 0, 1)
- CA: (Ax - Cx, Ay - Cy, Az - Cz) = (5 - 4, -5 - (-3), -1 - 0) = (1, -2, -1)
Далее вы можете использовать точечное произведение векторов, чтобы найти косинусы углов. Точечное произведение двух векторов A и B имеет вид A.B = |A||B|cos(θ), где |A| и |B| - величины векторов, а θ - угол между ними. Переставляя местами, получаем cos(θ) = A.B / (|A||B|).
Косинус угла при каждой вершине можно найти следующим образом:
- cos(A) = (AB.BC) / (|AB||BC|)
- cos(B) = (BC.CA) / (|BC||CA|)
- cos(C) = (CA.AB) / (|CA||AB|)
Величина вектора (x, y, z) равна √(x² + y² + z²). Таким образом, вы можете вычислить величины AB, BC и CA, а затем использовать формулу для косинуса угла, чтобы найти косинусы углов при каждой вершине.
Через скалярное умножение ищи