Геометрия 8 класс углубленное изучение оранжевый учебник. 16,7
Биссектрисы внешних углов при вершинах a, b и c треугольника abc пересекают прямые bc, ac и ab в точках a1 b1 и c1, соотвественно. Докажите, что эти точки коллинеарны.
Если вы понимаете что-то про проективную геометрию, то вы можете глянуть на первый чертеж и увидеть на нем, что треугольники ABC и EFD имеют центр перспективы (инцентр треугольника ABC), поэтому по тереме Дезарга имеют и ось перспективы — в точности прямую, на которой лежат A₁, B₁ и C₁, что и требовалось доказать
_____________________
Если вы не знакомы с проективкой, то предлагаю стандартную замену ей через абуз теоремы Чевы (но это, конечно, будет дольше и совершенно геометрически неинтерпретируемо)
Будем доказывать, что в условиях задачи BB₁ — биссектриса угла ABA₁. Пусть BB₁ пересекает CC₁ в точке E. Тогда очевидно задача эквивалентна доказательству того, что BE — биссектриса угла CBC₁. Это мы сейчас и получим.
По теореме Чевы для треугольника CB₁C₁ получаем, что
(CE/EC₁) * (C₁A₁/A₁B₁) * (B₁A/AC) = 1
CE/EC₁ = (B₁A₁/A₁C₁) * (AC/AB₁)
С другой стороны, по теореме о биссектрисе для треугольника B₁AC₁ верно, что B₁A₁/A₁C₁ = AB₁/AC₁. Поэтому предыдущее равенство преобразуется до вида
CE/EC₁ = AC/AC₁
Забавно, но это равенство по теореме о биссектрисе для треугольника CAC₁ означает, что AE — биссектриса угла A. Тогда E — центр соответствующей вневписанной окружности и, следовательно, BE — биссектриса угла CBC₁, что и требовалось доказать
_____________________
Альтернативно на последнем шаге можно было бы воспользоваться теоремой о биссектрисе внешнего угла для биссектрисы CC₁ и получить равенство AC₁/BC₁ = AC/BC и отсюда получить, что BE — биссектриса угла CBC₁ по теореме о биссектрисе для треугольника CBC₁