Показать без интегрирования, что площадь под кривой у= 1/х^2 в пределах от х= хА до х= хВ равна 1/хА-1/хВ.

Question

Показать без интегрирования, что площадь под кривой у= 1/х^2 в пределах от х= хА до х= хВ равна 1/хА-1/хВ.

Рустам Искендеров Искусственный Интеллект (140864), на голосовании 8 месяцев назад

"История" вопроса. На рубеже 70-80-х годов в одном учебном пособии по физике приводилась аналогичная формула (без вывода) для работы электростатического поля точечного заряда и отмечалось, что её вывод средствами школьной математики невозможен (тогда элементов дифференциального и интегрального исчисления в школе ещё не проходили). Я написал в издательство , предложив школьный вариант. Ответа не получил, однако, если не ошибаюсь, мои рассуждения были учтены в следующем издании пособия.
Кажется, этот же вопрос уже задал здесь ряд лет назад.

Answer 1

Ваше утверждение верно, если xA > 0 и xB > 0.

Сначала рассмотрим функцию f(x) = 1/x. Это функция, которая возрастает на интервале (0, ∞).

Площадь под кривой f(x) от точки xA до точки xB равна площади криволинейной фигуры, ограниченной осью x, кривой f(x), прямой x = xA и прямой x = xB.

Рассмотрим две криволинейные фигуры. Первая фигура ограничена осью x, кривой y = 1/x, прямой x = 2 и прямой x = 4. Вторая фигура ограничена осью x, кривой y = 1/x², прямой x = 8 и прямой x = 16.

Первая фигура состоит из двух частей: криволинейного треугольника AOB и криволинейного сектора BOC. Вторая фигура также состоит из этих двух частей, но они повернуты на 90°.

Если мы увеличим обе фигуры в 2 раза, то первая фигура превратится во вторую. Это означает, что площадь второй фигуры в 4 раза больше площади первой фигуры.

Answer 2

Тадасана Просветленный (41316) 9 месяцев назад

А, Ну, наверное, аффинные преобразования в школе еще меньше проходили, замучаешься доказывать, что если вдоль одной оси фигуру раздуть в C раз, а по другой сжать в С^2,. то площадь в C раз уменьшится.

Рустам ИскендеровИскусственный Интеллект (140864) 9 месяцев назад

Оставьте аффинные преобразования. Если опустить перпендикуляры с начала и конца графика функции на ось х, получим искомую площадь; если перпендикуляры опустить на ось у, получим некоторую другую площадь. Если доказать ("школьным путём", через сравнение соответствующих элементарных площадей), что вторая площадь больше первой в два раза, то надеюсь, легко будет завершить ркшение задачи. Дерзайте!

Рустам ИскендеровИскусственный Интеллект (140864) 9 месяцев назад

Элементарная "вертикальная" площадь
уΔх= 1/х^2)*Δх= Δх/х^2;
Элементарная "горизонтальная" площадь
хΔу= х[1/х^2-1/(х+Δх)^2].
Учитывая, что Δх ~= 0, то хΔу= 2Δх/х^2; т.е. "горизонтальная"" площадь больше "вертикальной" в два раза...

Рустам Искендеров, а вам прямо обязательно нужно похвастаться вашим решением? ну опубликуйте его в нормальном месте)) зачем здесь без конца спрашивать об одном и том же ожидая свое решение?, тем более, что ваше решение ничего принципиально нового не дает...