Условная вероятность и независимость событий

Для решения этой задачи, нам нужно определить количество элементов в каждом событии и количество элементов, где оба события срабатывают одновременно.

Найдите P(A∩B).

Сначала определим, сколько чисел кратных 3 и чётных одновременно в диапазоне от 1 до 12. Числа кратные 3: 3, 6, 9, и 12. Из них только 6 и 12 являются чётными. Таким образом, P(A∩B) = 2/12.

Найдите P(A)⋅P(B).

Первое событие A - выбрать число кратное 3. В диапазоне от 1 до 12, это происходит 4 раза (3, 6, 9, и 12). Таким образом, P(A) = 4/12.

Второе событие B - выбрать чётное число. В диапазоне от 1 до 12, это происходит 6 раз (2, 4, 6, 8, 10, и 12). Таким образом, P(B) = 6/12.

Теперь найдём произведение вероятностей: P(A)⋅P(B) = (4/12)⋅(6/12) = 24/144.

Являются ли события A и B независимыми?

События A и B являются независимыми, если P(A∩B) равна произведению P(A)⋅P(B). В нашем случае, P(A∩B) = 2/12, а P(A)⋅P(B) = 24/144. Хотя эти числа не равны, причина этого не в зависимости событий A и B, а в том, что диапазоны чисел для A и B пересекаются. Если бы диапазоны не пересекались, то произведение вероятностей было бы равно 2/12, и события были бы независимыми.