1.Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у = - х^2 +4, прямой у = 3х и осью Ох

1. Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой y = -x^2 + 4, прямой y = 3x и осью Ox, необходимо найти точки их пересечения.

Пересечение параболы с прямой:


- x^2 + 4 = 3x x^2 + 3x - 4 = 0


Решив квадратное уравнение, получаем два значения x_1 = 1, x_2 = -4.

Следовательно, точки пересечения прямой и параболы: (1, 3) и (-4, -12).

Площадь фигуры между кривыми и осью Ox равна интегралу модуля разности функций по x от -4 до 1:


∫_-4^1 |(-x^2 + 4) - 3x| dx


Решив этот интеграл, получим площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми.

2. Площадь фигуры, ограниченной двумя параболами y = x^2 и y = 2x - x^2, также можно найти как разность интегралов функций в пределах их пересечения.

Ищем точки пересечения парабол:


x^2 = 2x - x^2 x^2 = x(2 - x) x(x - 2) = 0


Точки: x = 0, x = 2.

Теперь находим площадь фигуры между кривыми, интегрируя разность модулей этих функций по x от 0 до 2:


∫_0^2 |(2x - x^2) - x^2| dx


После вычисления этого интеграла, мы найдем площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми.