Почему в слове грющее пишется ю?

Не пишется, нет такого слова.

Может, греющее?
Так это по аналогии: поющее, клюющее, вопиющее.

Буква ю передаёт йотированный звук [`у]. Именно этот звук и присутствует в данном слове - "греющее". Иначе можно записать - "грейущейе". Но такие сложности ни к чему.