Задача по математике олимпиаде
Пираты решили разделить сундук с золотыми монетами, при этом каждый должен получить хотя бы одну монету. Известно, что каждому в среднем досталось по 97
монет. Если не считать капитана, получившего 157
золотых, то среднее количество монет у оставшихся пиратов уменьшится до 85
. Какое максимальное количество золотых монет мог получить один из пиратов?
Чтобы посчитать среднее количество монет, необходимо сложить количество монет у каждого и разделить на количество пиратов.
Для решения этой задачи необходимо воспользоваться формулой для вычисления среднего арифметического.
Известно, что среднее количество монет, которое получил каждый пират, равно 97. Это означает, что общая сумма монет, которая была разделена между пиратами, равна 97 умноженное на количество пиратов.
Обозначим количество пиратов через n, а общую сумму монет через S. Тогда:
S = 97 \* n
Также известно, что если не считать капитана, который получил 157 монет, то среднее количество монет у оставшихся пиратов уменьшится до 85. Это означает, что общая сумма монет, которая была разделена между оставшимися пиратами, равна 85 умноженное на количество оставшихся пиратов.
Обозначим количество оставшихся пиратов через n-1, а общую сумму монет, которая была разделена между ними, через S1. Тогда:
S1 = 85 \* (n-1)
Так как общая сумма монет, которая была разделена между всеми пиратами, равна сумме монет, которая была разделена между оставшимися пиратами, и количеством монет, которое получил капитан, то:
S = S1 + 157
Подставим в это уравнение выражения для S и S1:
97 \* n = 85 \* (n-1) + 157
Раскроем скобки:
97 \* n = 85 \* n - 85 + 157
Перенесем все слагаемые, содержащие n, в левую часть уравнения, а все остальные слагаемые - в правую часть:
12 \* n = 72
Разделим обе части уравнения на 12:
n = 6
Таким образом, количество пиратов равно 6.
Теперь мы можем найти общую сумму монет, которая была разделена между всеми пиратами:
S = 97 \* n = 97 \* 6 = 582
Максимальное количество монет, которое мог получить один из пиратов, равно количеству монет, которое получил капитан, минус один (поскольку каждый пират должен получить хотя бы одну монету):
157 - 1 = 156
Ответ: максимальное количество золотых монет, которое мог получить один из пиратов, равно 156.
пусть всего пиратов N
Тогда всего монет 97N
Внизу неравенсто которое означает что если убрать монеты капитана из общего числа, и посчитать среднее уже для все остальных пиратов получим 85 по условию:
(97N-157)/(N-1)=85
97N -157 =85N - 85
12N = 72
N = 6
Значит всего пиратов было 6 ( 1 из ни капитан)
То есть среднее среди 5 пиратов это 85 монет
Каждый пират получает минимум по 1 монете, поэтому максимально возможное количество монет у одного из этих 5 пиратов, это их ( пятерых) общее число монет 85*5=425
минус монеты 4 остальных, максимум достигается когда у этих 4 по 1 монете,
То есть максимум может быть 421 монета
