Написать уравнение касательных плоскостей

Берем уравнение поверхности:
2 x y - z^2 + z = 0,
Раскладываемся в линейном приближении в окрестности (a,b,c), получаем:
{2 a b - c^2 + c} + {2 b [x - a] + 2 a [y - b] + (1 - 2 c) [z - c]} = 0.
Учитываем, что точка (a,b,c) сама должна находиться на поверхности, поэтому слагаемое в первых фигурных скобках равно нулю. Получаем уравнение касательной плоскости в точке (a,b,c):
2 b [x - a] + 2 a [y - b] + (1 - 2 c) [z - c] = 0.
Вектор нормали к ней:
n = {2 b, 2 a, 1 - 2 c}.
И вам нужно, что он был параллелен вектору:
n1 = {2, 2, -3}.
Получаем систему:
2 b = 2 k,
2 a = 2 k,
(1 - 2 c) = - 3 k,
из которой получаем набор значений a, b, c, при которых n и n1 параллельны:
a = k,
b = k,
c = (1 + 3 k) / 2.
Среди них нужно выбрать те точки, которые еще и лежат на исходной поверхности. Подставляем найденные a, b, c в уравнение поверхности, получаем уравнение для k:
2 k^2 - (1 + 3 k)^2 / 4 + (1 + 3 k) / 2 = 0,
решаем, получаем:
k = (+/-) 1.
Значит, есть две подходящие точки:
(1, 1, 2),
(-1, -1, -1).
Подставляем кажду из точек в полученное уравнение для касательной плоскости, получаем уравнения для двух подходящий касательных плоскостей:
2 x + 2 y - 3 z + 2 = 0,
2 x + 2 y - 3 z + 1 = 0.