Ряды в математике

Да, интервал сходимости вы нашли правильно. Что касается исследования сходимости на его концах, то вы просто подставляете 1 и -1 вместо x и исследуете на сходимость получившийся числовой ряд.

При x = 1 общий член ряда принимает вид 1 / (n √n). Ряд с такими членами сходится, потому что представляет собой обобщенный гармонический ряд со слагаемыми 1 / nᵖ с p = 1.5 > 1. Альтернативно можно использовать интегральный признак Коши--Маклорена и сравнить ряд с несобственным интегралом от 1 / (x √x), который будет сходиться. Итого в точке x = 1 ряд сходится.

При x = -1 общий член ряда имеет вид (-1)ⁿ / (n √n). Этот ряд сходится абсолютно, потому что модуль общего члена совпадает со слагаемыми из ряда для x = 1, который мы только что исследовали.

Итого ряд сходится на [-1, 1], причем абсолютно.