Восстановите промежуточные вычисления, необходимые для нахождения второй производной

Для решения задачи на нахождение второй производной функции, заданной параметрически, воспользуемся данными уравнениями \( x = \ln(\sin(t)) \) и \( y = e^t \).

1. Выразим первую производную \( \frac{dy}{dx} \) через производные по параметру \( t \):

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}
\]

2. Найдём производные \( \frac{dx}{dt} \) и \( \frac{dy}{dt} \):

\[
x = \ln(\sin(t)) \Rightarrow \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \ln(\sin(t)) = \frac{1}{\sin(t)} \cdot \cos(t) = \cot(t)
\]

\[
y = e^t \Rightarrow \frac{dy}{dt} = e^t
\]

Теперь подставим эти выражения в формулу для первой производной:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{e^t}{\cot(t)} = e^t \cdot \tan(t)
\]

3. Для нахождения второй производной \( \frac{d^2 y}{dx^2} \), воспользуемся правилом дифференцирования:

\[
\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dt} \left( e^t \cdot \tan(t) \right) \cdot \frac{dt}{dx}
\]

4. Найдём производную выражения \( e^t \cdot \tan(t) \):

\[
\frac{d}{dt} \left( e^t \cdot \tan(t) \right) = e^t \cdot \tan(t) + e^t \cdot \frac{d}{dt} \tan(t) = e^t \cdot \tan(t) + e^t \cdot \sec^2(t)
\]

5. Теперь найдём \( \frac{dt}{dx} \):

\[
\frac{dx}{dt} = \cot(t) \Rightarrow \frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cot(t)} = \tan(t)
\]

Подставим все в формулу второй производной:

\[
\frac{d^2 y}{dx^2} = \left( e^t \cdot \tan(t) + e^t \cdot \sec^2(t) \right) \cdot \tan(t)
\]

Разложим получившееся выражение:

\[
\frac{d^2 y}{dx^2} = e^t \cdot \tan(t) \cdot \tan(t) + e^t \cdot \sec^2(t) \cdot \tan(t) = e^t \cdot \tan^2(t) + e^t \cdot \tan(t) \sec^2(t)
\]

Теперь заполним пустые клетки:

\[
\frac{d}{dt} \left( e^t \cdot \tan(t) \right) = e^t \cdot \tan(t) + e^t \cdot \sec^2(t) = e^t \cdot \tan(t) + e^t \cdot \frac{1}{\cos^2(t)}
\]

И последняя производная:

\[
\frac{d^2 y}{dx^2} = \left( e^t \cdot \tan(t) + e^t \cdot \sec^2(t) \right) \cdot \tan(t)
\]

Переместите пропущенное в пустые клетки:

\[
\frac{dy}{dx} = e^t \cdot \tan(t)
\]

\[
\frac{d^2 y}{dx^2} = \left( e^t \cdot \tan(t) + e^t \cdot \sec^2(t) \right) \cdot \tan(t)
\]

Теперь у вас есть все промежуточные вычисления для нахождения второй производной.