Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса

Шаг 1: Запись исходной системы в виде расширенной матрицы

\begin(bmatrix) 4 7 9 43
7 4 6 34
3 4 3 26 \end(bmatrix)

Шаг 2: Преобразование матрицы в ступенчатую форму

• Делим первую строку на 4: \begin(bmatrix) 1 7/4 9/4 43/4
7 4 6 34
3 4 3 26 \end(bmatrix)
• Вычитаем 7 раз первую строку из второй строки: \begin(bmatrix) 1 7/4 9/4 43/4
0 -3/4 -3/4 -1/4
3 4 3 26 \end(bmatrix)
• Вычитаем 3 раза первую строку из третьей строки: \begin(bmatrix) 1 7/4 9/4 43/4
0 -3/4 -3/4 -1/4
0 5/4 3/4 5\end(bmatrix)

Шаг 3: Преобразование ступенчатой матрицы в диагональную форму

• Делим вторую строку на -3/4: \begin(bmatrix) 1 7/4 9/4 43/4
0 1 1 1/3
0 5/4 3/4 5\end(bmatrix)
• Вычитаем 5/4 раза вторую строку из третьей строки: \begin(bmatrix) 1 7/4 9/4 43/4
0 1 1 1/3
0 0 -1/4 13/3\end(bmatrix)
• Умножаем третью строку на -4: \begin(bmatrix) 1 7/4 9/4 43/4
0 1 1 1/3
0 0 1 -13\end(bmatrix)

Шаг 4: Запись решения

Наша диагональная матрица соответствует следующей системе уравнений:

\begin(align) x + 7/4 y + 9/4 z = 43/4
y + z = 1/3
z = -13 \end(align)

Подставляя значение z в предыдущее уравнение, получаем:

y - 13 = 1/3⇒ y = 40/3

Подставляя значения y и z в первое уравнение, получаем:

x + 7/4·40/3 + 9/4· (-13) = 43/4⇒ x = -8/3

Таким образом, решение системы:

x = -8/3, y = 40/3, z = -13

Расширенная матрица:
4 7 9 43
7 4 6 34
3 4 3 26
Первую строку делим на 4:
1 7/4 9/4 43/4
7 4 6 34
3 4 3 26
Умножаем первую строку на 7 и вычитаем из неё вторую строку, также умножаем первую строку на 3 и вычитаем из неё третью строку:
1 7/4 9/4 43/4
0 33/4 39/4 165/4
0 5/4 15/4 25/4
Делим вторую строку на 33/4:
1 7/4 9/4 43/4
0 1 13/11 5
0 5/4 15/4 0
Умножаем вторую строку на 5/4 и вычитаем из неё третью строку:
1 7/4 9/4 43/4
0 1 13/11 5
0 0 -25/11 0
Делим третью строку на -25/11:
1 7/4 9/4 43/4
0 1 13/11 5
0 0 1 0
Из третьей строки следует, что z=0. Подставляем во вторую строку:
y+13/11*0 = 5
y=5
Подставляем значения y и z в первую строку:
x+7/4*5+9/4*0 = 43/4
x+35/4 = 43/4
x = 43/4-35/4 = 2
Итого:
x=2
y=5
z=0