Задача по теории вероятности

Функция плотности f(x) -- производная функции распределения F(x), поэтому она равна 2 cos(2x) при 0 < x ≤ π/4 и 0 при x < 0 и x > π/4 (в точке x = 0 плотность не определена, потому что там F(x) недифференцируема).
Математическое ожидание равно интегралу от функции x f(x) по всей числовой прямой. Поскольку f(x) ≠ 0 только при 0 < x ≤ π/4, то этот интеграл упрощается и берется однократным проходом по частям
Дисперсию лично мне больше нравится вычислять как разность матожидания квадрата и квадрата матожидания. Найдем сначала первое (на этот раз понадобится интегрировать по частям дважды)
Наконец, дисперсия равна
Ну и последний вопрос. Вероятность попадания в интервал равна разности значений функции распределения F(x) на концах этого интервала, поэтому
ℙ(π/12 < X < π/2) = F(π/2) - F(π/12) = 1 - sin(2π/12) = 1 - sin(π/6) = ½

То же самое можно было бы получить как интеграл от плотности f(x) по промежутку от π/12 до π/2 (но тут важно помнить, что при x > π/4 плотность равна нулю)