Помогите пожалуйста найти площадь фигуры ограниченной графиками

Давайте найдём площадь!

1. **Построим график функции**

Для начала, важно понять, как выглядит фигура, ограниченная данными графиками.

* `x = 3(t - sin(t))` и `y = 3(1 - cos(t))` - это параметрические уравнения циклоиды.
* `y = 3` - прямая, параллельная оси Ox.
* `0 < x < 6π`, `y ≥ 3` - ограничения для фигуры.

Циклоида с данными параметрами будет находиться над прямой y=3, и ограничения по x указывают на то, что нам нужна площадь фигуры, образованной одним периодом циклоиды.

2. **Вычислим площадь**

Площадь фигуры, ограниченной графиком y=f(x), осью Ox и прямыми x=a и x=b, вычисляется по формуле:

```
S = ∫[a, b] f(x) dx
```

В нашем случае, f(x) - это уравнение циклоиды, выраженное через x. Но у нас есть параметрические уравнения. Чтобы использовать формулу, нам нужно избавиться от параметра t.

3. **Избавляемся от параметра t**

Из уравнения `y = 3(1 - cos(t))` выразим `cos(t)`:
`cos(t) = 1 - y/3`

Теперь, используя тригонометрическое тождество `sin^2(t) + cos^2(t) = 1`, выразим `sin(t)`:
`sin(t) = ±√(1 - cos^2(t)) = ±√(1 - (1 - y/3)^2) = ±√(2y/3 - y^2/9)`

Подставим `sin(t)` в уравнение `x = 3(t - sin(t))`:
`x = 3(t ± √(2y/3 - y^2/9))`

К сожалению, явно выразить `t` через `x` довольно сложно. Поэтому, для вычисления площади, нам будет удобнее использовать другой подход - переход к интегрированию по параметру.

4. **Интегрирование по параметру**

Площадь фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой `x = x(t)`, `y = y(t)` и прямыми `t = α` и `t = β`, можно вычислить по формуле:

```
S = ∫[α, β] y(t) * x'(t) dt
```

В нашем случае:
* `x(t) = 3(t - sin(t))`
* `y(t) = 3(1 - cos(t))`
* `α = 0` (начало периода циклоиды)
* `β = 2π` (конец периода циклоиды)

Найдем `x'(t)`:
`x'(t) = 3(1 - cos(t))`

Теперь мы можем вычислить площадь:

```
S = ∫[0, 2π] 3(1 - cos(t)) * 3(1 - cos(t)) dt = 9 ∫[0, 2π] (1 - 2cos(t) + cos^2(t)) dt
```

Используя формулу понижения степени `cos^2(t) = (1 + cos(2t))/2` и интегрируя, получим:

```
S = 9 [t - 2sin(t) + t/2 + sin(2t)/4] |_[0, 2π] = 9 * (2π + π) = 27π
```

5. **Ответ**

Площадь фигуры, ограниченной данными графиками, равна **27π**.