Найти производную функции: (2-x)/ln(x)

Пусть:

u(x) = 2 - x
v(x) = ln(x)

Тогда производная функции f(x) = u(x)/v(x) найдется по формуле:

f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/[v(x)]²

Сначала найдем производные u(x) и v(x):

u'(x) = d/dx(2 - x) = -1
v'(x) = d/dx(ln(x)) = 1/x

Теперь подставим эти производные в формулу:

f'(x) = ((-1) * ln(x) - (2 - x) * 1/x)/[ln(x)]²

Упрощаем числитель:

f'(x) = (-ln(x) - (2 - x)/x)/[ln(x)]²
f'(x) = (-ln(x) - 2/x + 1)/[ln(x)]²

Приведем числитель к общему знаменателю:

f'(x) = (-xln(x) - 2 + x)/(x[ln(x)]²)

Упрощаем числитель:

f'(x) = (x - xln(x) - 2)/(x[ln(x)]²)

Разделим числитель на знаменатель:

f'(x) = (x - xln(x) - 2)/(x(ln(x))²)

Чтобы найти производную функции (2-x)/ln(x), мы воспользуемся правилом деления:

(Правило деления)

Если f(x) и g(x) - дифференцируемые функции, и g(x) ≠ 0, то:

(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / (g(x))²

1. Идентифицируем f(x) и g(x):

f(x) = 2 - x
g(x) = ln(x)

2. Найдем производные f'(x) и g'(x):

f'(x) = -1
g'(x) = 1/x

3. Подставим найденные значения в формулу правила деления:

((2 - x)/ln(x))' = ((-1) ln(x) - (2 - x) (1/x)) / (ln(x))²

4. Упростим полученное выражение:

= (-ln(x) - (2/x) + 1) / (ln(x))²

5. Результат:

Производная функции (2-x)/ln(x) равна (-ln(x) - (2/x) + 1) / (ln(x))².