Решение пределов при доказательстве непрерывности в начале координат

Question

Решение пределов при доказательстве непрерывности в начале координат

Егор Гришин Знаток (334), открыт 5 дней назад

Мне нужно найти предел функции при x -> 0 и y -> 0. На фотографии показано решение. Применяю правило Лопиталя, но от неопределенности 0/0 не ухожу. Как решить его иначе?

Если это вдруг нужно, то делаю это задание:

Дополнен 5 дней назад

То есть, по идеи, предел должен быть равен 0, чтобы предел функции равнялся значению функции в точке (0; 0) для доказательства

Answer 1

Здесь в лоб нельзя применять правило Лопиталя, потому что перед нами предел функции многих переменных, тут все чуть-чуть сложнее устроено.

Проще всего здесь воспользоваться тем, что при малых x и y верно (обращение формулы тангенса разности)

Подставляя это в предел и пользуясь стандартной эквивалентностью, получаем

Забавно, что функция-то получилась разрывной в точке (0, 0), потому что предел равен 1, а не 0.