Есть ли в английском ласкательное слово "солнышко", чтобы по смыслу было тоже самое? Sun?

Сынок

Sunshine

В песне группы аббы есть sonny сыночек, а вот дочурка там уже и не скажешь.
Sunny rainy это наречия поэтому никак.
Можно little sun но и тут возможно не поймёт.

cutie или sweety, в англе нет столько форм слов, как в русском

То Же самое - нет, там нет ласкательных суффиксов.
Можно заменить на honey или darling.

Естественно: Sunny[Санни]! Неужели группу Boney M уже забыли?!

ю махат, ю масан

Hon (honey), darling популярные самые, или же sweetheart

из конкретно связанных с солнцем скорее всего будет только sunshine, а так есть целая уйма ласкательных слов, от darling (~= дорогая) до hun (~= сладкая, производное от слова мёд)