Помогите решить задачку, пожалуйста, сыну на лето задали, а у меня не получается, всей семьей голову ломаем 😒
1) Срeди всех трeугoльников с зaдaннoй плoщадью найдите тoт, y кого oкажeтся минимальный периметр.
2) Аналогично, если задан периметр, найти треугольник с наибольшей площадью.
Привет! Ну в первой задаче достаточно вспомнить, например, формулу площади через периметр, называется она формулой Герона, а выглядит таким образом: S = sqrt(p*(p-a)*(p-b)(p-c)), где р - половинка периметра, а a, b, c - стороны треугольника.
Теперь давай оценивать эту формулу, ну, наверное, стоит заметить, что если сложить (p-a)+(p-b)+(p-c) = P - a - b - c + p = p, то мы получим слагаемое, выраженное через периметр без значения сторон, значит нам стоит для этих трех множителей записать неравенство о средних:
S >= sqrt(p* ((p-a)+(p-b)+(p-b))/3)^3 ) = p^2*sqrt(3)/9, ну а дальше получаем неравенство S >= p^2*sqrt(3)/9, немного его преобразуем и получаем 2p >= 2*sqrt(3S*sqrt(3))
Теперь сравним с площадью правильного треугольника
S = 1/2a*b*sin(a) = 1/2*a^2*sqrt(3)/2 = a^2*sqrt(3)/4 <=> a = sqrt(S*4/sqrt(3))
P = 3a = 2*sqrt(3*S*sqrt(3))
совпадение!
Ну, а во втором пункте S = sqrt(p*(p-a)*(p-b)(p-c)) зафиксируем сумму p-a + p-b + p-c = p и начнем сближать слагаемые друг к другу, основываясь на методе Штурма, максимальное значение произведения достигается при равенстве сторон.
При равном периметре Больше площажь у правильных многоугольников или тех кто ближе к ним.
Для всех фигур треугольники или четерехуголники 5 и 6 и тд при равном периметре площать больше у тех чьи стороны равны или их значения ближе к друг другу для примера прямоугольник P=24 для квадрата площадь будет 36, рассмотрим другие прямоугольники сторона A=11 B=1 периметр будет 24 площадь 11
A=10 B=2 периметр 24 площадь 20
A=9 B=3 ПЕРИМЕТР 24 ПЛОЩАДЬ 27
A=8 B=4 24 и 32
A=7 B= 5 24 и 35
A=6 B=6 (А это уже квадрат) 24 и 36
Равносторонний🙂
Ответ удалён 