Образ гомоморфизма - это подгруппа, доказательство

подгруппа чего? например образ эпиморфизма для категории групп является группой куда ведет этот эпиморфизм ( a:S->F ; (s *a = f*a => s= f)=> Im a= F)

Давай-ка мы от групп к множествам и отображениям множеств перейдем.
Пуcть X и Y - множества. f: X->Y - функция какая-то.
Можно о такой функции сказать, что она принимает значения из Y.
А образ f (иначе - область значений f) - это какое-то подмножество Y, которое можно обозначить всяко-разно, например, Ef или f(X). Если f(X) = Y, то наше отображение f сюръективным называется.

Например, если ты функцию x^2 рассмотришь как функцию на R, принимающую значения из R, она получится не сюръективной, а если как f: R -> [0, +inf), то суръективной.

Если ты функцию x^2 рассмотришь как функцию на R \ { 0 }, принимающую значения из R \ {0}, она получится не сюръективной, а если как R \ { 0 } -> (0, +inf), то сюръективной.

А вот теперь обрати внимание, что в самом последнем абзаце выше каждое рассматриваемое множество образует по умножению группу, а функция f является гомоморфизмом соотв. групп (сюръективным либо нет).
Образ гомоморфизма есть группа,
Если G1, G2 - группы, f: G1 -> G2 - гомоморфизм групп, то im(f) - подгруппа G2, ker(f) - нормальная подгруппа G1.