Доказательство, что все базисы свободной абелевой группы содержат одно и то же число элементов
В видео доказательство, типа, выражаем новый базис с бо́льшим числом элементов через старый. Потом пользуются какой-то леммой, что столбцы матрицы из целых чисел линейно зависимы над полем рациональных чисел(кстати, я это не понимаю). Расписывают сумму:
pi/qi e'i = pi/qi (Cji ej) = (pi/qi Cji) ej = 0
Домножают на нок знаменателем, получают:
di Cji = 0
=> di e'i = 0, di - целое число
Ну а значит ноль представим в виде
di e'i и 0e'i, что вызывает противоречие определению базиса.
Но я не понимаю, как тут задействовано, что число элементов у одного базиса больше другого. Я попробовал расписать то же самое с одинаковым числом элементов, получил то же. Не могу понять ничего.
Чистое совпадение
Вы высказали несколько интересных замечаний. Это правда, что базис может быть выражен как линейная комбинация других базисов (как показано с помощью матричного умножения), что затем может привести к противоречиям (как показано при умножении на общий знаменатель). Однако ваше предположение о том, что "это означает, что ноль представлен в виде di e'i", не обязательно следует из этого противоречия. Не могли бы вы подробнее рассказать о том, как вы пришли к такому выводу?
Не могу понять ничего.
