Доказательство, что все базисы свободной абелевой группы содержат одно и то же число элементов

В видео доказательство, типа, выражаем новый базис с бо́льшим числом элементов через старый. Потом пользуются какой-то леммой, что столбцы матрицы из целых чисел линейно зависимы над полем рациональных чисел(кстати, я это не понимаю). Расписывают сумму:
pi/qi e'i = pi/qi (Cji ej) = (pi/qi Cji) ej = 0
Домножают на нок знаменателем, получают:
di Cji = 0
=> di e'i = 0, di - целое число
Ну а значит ноль представим в виде
di e'i и 0e'i, что вызывает противоречие определению базиса.

Но я не понимаю, как тут задействовано, что число элементов у одного базиса больше другого. Я попробовал расписать то же самое с одинаковым числом элементов, получил то же. Не могу понять ничего.