Нужны какие-то действия с военкоматом, если я куплю квартиру в другом регионе и сделаю там регистрацию?

Да, обязан сообщить об изменении места жительства и регистрационных данных

Да, при смене регистрации в другой регион тебе нужно будет уведомить военкомат о своем новом месте жительства. По закону, ты обязан встать на воинский учет по новому адресу в течение двух недель после смены регистрации.

Вот что нужно сделать:

1. Сняться с учета по старому месту жительства:
• Обратись в военкомат по старому месту регистрации, сообщи о смене регистрации и снимись с учета.
2. Встать на учет по новому месту жительства:
• Посети военкомат по новому месту регистрации и предоставь документы, подтверждающие твою новую прописку.
• Также тебе понадобятся документы, удостоверяющие личность, военный билет и другие бумаги, если они потребуются.

Документы, которые могут понадобиться:

• Паспорт.
• Военный билет (или приписное свидетельство, если ты ещё не служил).
• Справка о регистрации по новому месту жительства.

Можно прийти в военкомат по новому месту жительства и там встать на учет. Ваше дело из старого военкомата перешлют

Да , в армию забирают

Не нужны, если Вы собираетесь жить по новому месту регистрации. О смене адреса Вашей регистрации в военкомат сведения поступают от МВД.
А вот если Вы переезжаете в другой регион без изменения адреса постоянной регистрации, уведомить военкомат Вы обязаны. Согласно ФЗ "О воинской обязанности и военной службе", граждане, находящиеся в запасе или подлежащие призыву, обязаны "сообщить в письменной или электронной форме через Портал государственных и муниципальных услуг в военный комиссариат либо в местную администрацию соответствующего поселения, осуществляющую первичный воинский учет, ... сведения о переезде на новое место пребывания, не подтвержденные регистрацией, либо явиться в военный комиссариат в двухнедельный срок со дня наступления указанных событий".