Информатика. Теория игр

Давайте разберем каждый из вопросов по порядку.

### Вопрос 1

Петя может выиграть первым ходом, если он может довести количество камней в одной из куч до 78. Для этого он может:

1. Добавить от 1 до 3 камней в большую кучу.
2. Удвоить количество камней в меньшей куче (если меньшая куча меньше, чем большая).

Чтобы найти наименьшее количество камней в двух кучах, давайте рассмотрим, что у нас есть две кучи, и Петя должен сделать так, чтобы после его хода одна из куч достигла 78.

Пусть в одной куче будет \( x \) камней, а в другой \( y \) камней, где \( x \geq y \).

Если \( x = 78 - k \) (где \( k \) – количество добавленных камней), то:

- Если \( k = 1 \), \( x = 77 \) и \( y \) может быть 1 (1 + 77 = 78).
- Если \( k = 2 \), \( x = 76 \) и \( y \) может быть 2 (2 + 76 = 78).
- Если \( k = 3 \), \( x = 75 \) и \( y \) может быть 3 (3 + 75 = 78).

Таким образом, наименьшая сумма будет, когда \( x = 77 \) и \( y = 1 \), что дает \( 77 + 1 = 78 \).

**Ответ на Вопрос 1: 78.**

### Вопрос 2

Пусть в первой куче 25 камней, а во второй \( S \) камней. Петя не может выиграть за один ход, значит, он не может довести количество камней в одной из куч до 78. Это значит, что:

- Если он добавляет 1, 2 или 3 камня в первую кучу, она станет 26, 27 или 28, соответственно, что меньше 78.
- Если он удваивает количество камней во второй куче (то есть \( S \)), он должен сделать так, чтобы \( 2S < 78 \), следовательно, \( S < 39 \).

Теперь, чтобы Петя мог выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня, он должен оставить Ване такие позиции, из которых он не сможет выиграть.

Петя может выиграть своим вторым ходом, если после первого хода Вани он сможет сделать так, чтобы одна из куч достигла 78. Это значит, что он должен оставить Ване такие значения \( S \), чтобы у Вани не было возможности довести количество камней до 78 за один ход.

Петя должен оставить Ване такие значения, которые не позволят Ване выиграть. Это можно проверить, подбирая значения \( S \):

- \( S = 1 \): Петя может сделать 25 + 3 = 28, Ваня добавляет 1, 2 или 3, и Петя выигрывает.
- \( S = 2 \): Аналогично, Петя добавляет 3, и Ваня не может выиграть.
- ...
- \( S = 37 \): Петя добавляет 3, и Ваня не может выиграть.

Таким образом, наименьшее значение \( S \) будет 1, а наибольшее значение будет 37.

**Ответ на Вопрос 2: 1, 37.**

### Вопрос 3

В первой куче 69 камней, а во второй \( S \) камней.

У Вани есть выигрышная стратегия, если он может довести количество камней в одной из куч до 78, но при этом у него не должно быть стратегии, позволяющей ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если Ваня делает первый ход, он может:

1. Добавить 1, 2 или 3 камня в кучу с 69, что даст 70, 71 или 72.
2. Удвоить меньшую кучу \( S \).

Чтобы Ваня мог выиграть, он должен иметь возможность довести кучу до 78. Это значит, что он может выиграть, если \( S \leq 39 \) (поскольку \( 2S < 78 \)).

Но при этом, чтобы у Вани не было стратегии, позволяющей ему гарантированно выиграть первым ходом, \( S \) должно быть таким, чтобы после первого хода Пети он не мог довести до 78.

Если \( S = 39 \), то Ваня может удвоить, и у него будет 78, что дает ему выигрыш. Если \( S = 38 \), то Ваня не сможет гарантированно выиграть, так как он не сможет довести до 78.

Таким образом, \( S = 39 \) является критическим значением, при котором Ваня может выиграть, но не может гарантированно выиграть первым ходом.

**Ответ на Вопрос 3: 39.**

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно уточнить что-то, дайте знать!