Комбинаторика, 8-9 класс
В числе 2024****20* нужно заменить каждую из 5 звёздочек на любую из цифр 0, 2, 4, 7, 8, 9 (цифры могут повторяться) так, чтобы полученное 11-значное число делилось на 6. Сколькими способами это можно сделать?
Желательно подробное решение(
И можно, пожалуйста, без решений перебором
Задача проще, чем кажется.
Вначале отбросим лишнее. Требуется найти количество чисел вида *****, где * — любая цифра из указанного множества, — и таких, что число заканчивается на чётную цифру и сумма его цифр даёт недостающий нам остаток 2 при делении на 3.
Сами цифры, предоставленные нам для выбора, значения не имеют, — имеют значения только их остатки при делении на 3. Это остатки: 0, 2, 1, 1, 2, 0. Важно то, что каждый из возможных остатков (0, 1, 2) здесь встречается одинаковое число раз. Поэтому мы можем смело заменить исходные цифры на любые другие с теми же остатками. Например: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Суть задачи и её ответ от этого не изменятся.
Итак, окончательно, модель задачи такова. Имеются 4-значные числа от 0000 до 5555. К каждому числу нужно в конце приписать одну из четырёх чётных цифр. Сколько таких чисел делятся на 3?
Если присмотреться, заметим, что даже эта последняя чётная цифра не влияет на подсчёт, который теперь становится почти устным.
Закончите решение сами?