Зачем нужны геометрические векторы?

Геометрические векторы — это концепция, которая вырастает из простого представления о перемещении между точками пространства. Всё начинается с координат, которые дают способ описывать точки в пространстве, а векторы вводятся как "стрелки", соединяющие эти точки, но не зависящие от их положения.

Как это выходит из координат. Представь две точки A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂) в трёхмерной системе координат. Вектор →AB определяется разницей координат конечной точки и начальной:
→AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁).
Эта разница координат прямо описывает, на сколько нужно "переместиться" вдоль каждой оси, чтобы попасть из A в B. Вот он — вектор в координатах.

Почему это больше, чем просто координаты?
Координаты точки фиксируют её конкретное место в пространстве. Вектор же "не привязан" к началу отсчёта: он описывает лишь направление и величину перемещения. Если ты перенесёшь вектор параллельно себе, он останется тем же вектором. Его природа более абстрактна.

Как работают правила?
Операции с векторами, такие как сложение, умножение на скаляр и скалярное произведение, возникают естественно из операций над координатами:

Сложение. Если →u = (uₓ, uᵧ, u?) и →v = (vₓ, vᵧ, v?), то их сумма:
→u + →v = (uₓ + vₓ, uᵧ + vᵧ, u? + v?).
Это чистая геометрия: ты соединяешь "концы" двух перемещений, просто складывая их компоненты.

Умножение на число. Если растянуть или сжать →u в k раз, координаты просто умножатся на k:
k · →u = (k·uₓ, k·uᵧ, k·u?).
Это масштабирование вдоль всех осей.

Скалярное произведение. Оно определяется через углы и длины векторов, но выводится из координат так:
→u · →v = uₓ·vₓ + uᵧ·vᵧ + u?·v?.
Почему? Потому что это сумма произведений "проекций" двух перемещений вдоль каждой оси, что даёт меру "совпадения" направлений.

Что в этом наглядного? Вообрази простой случай: два перемещения на плоскости. Одно идёт по оси x, другое — под углом. Сложение векторов — это просто диагональ параллелограмма, натянутого на эти перемещения. Скалярное произведение — это проекция одного вектора на другой, что даёт тебе представление об их "согласованности" или "угле между ними". Всё это просто преобразуется в действия с координатами.

Вывод. Геометрические векторы — это абстракция над разницей координат, которая позволяет описывать движение, силы, скорости, направления без привязки к конкретным точкам пространства. Именно это делает их универсальными, выходящими за рамки одной системы координат.

Прежде чем ответить на вопрос "как они оттуда берутся", надо бы уточнить про это "оттуда", т.е. что такое "характеристика точек с системе координат".

Изначально затем, чтобы применять к геометрии аналитические (алгебраические) методы. Можете сидеть и ковыряться в рисунках, чтобы найти какой-нибудь там угол между сторонами, или расстояние между какими-то точками, а можете записать все через векторы, и вместо рисунков просто играться с формулками для векторов. И вылезают эти векторы как раз из того, чтобы соответствовать геометрии в обчном привычном нам пространстве. Далее они обобщаются, погружаются во все большую абстракцию...

наглядно. можно .но.. векторная геометрия.. векторная алгебра.. векторная физика. поверь это проще.понять да сложно..

Время, направление, усилие - векторы. Они не объ. Свойства.

Вектор, его самый базовый смысл – это аналог направления, по прямой линии.

Ни фига не понял.
Давай определение аффинного пространства (точек), ассоциированного с заданным линейным пространством (векторов), построим чисто методом теории групп.
Ты чего-то такого ждешь в ответе? Или тебе нужно что-то другое?

Аффинным пространством называется свободное транзитивное действие аддитивной группы линейного пространства.
Расшифруем чуток.
Вот смотри, пусть есть множество X, на котором задано наше свободное транзитивное действие аддитивной группы линейного пространства V.
Элементы X обзови точками.
Действие группы пусть будет действием слева, обозначим его плюсиком, а не значком умножения, один фиг группа абелева.

Пусть v - некотрый элемент V (вектор).
Тогда отображение f: X -> X, определенное как
f(x) = v + x (здесь плюсик - обозначение действия нашей группы!),
называется параллельным переносом в пространстве точек X на вектор v.

"Свободность" действия группы означает, что образы одной и той же точки при переносе на разные векторы всегда различны.
Транзитивность действия группы означает, что для всякой пары точек A, B из X найдется вектор v из V, такой, что B = v + A. В силу свободности такой вектор единственный. И ты его привык в школе обозначать AB со стрелочкой сверху.

Проще говоря, всякий вектор сразу становится геометрическим, стоит лишь подействовать аддитивной группой линейного пространства свободно и транзитивно. А если не знаешь, на чем бы так подействовать группой, можно, не долго думая, тупо подейстовать группе на себе - такое действие заведомо будет свободным и транзитивным!

В качестве шутки:
Поскольку геометрия является объединением алгебры и анализа, то вектор называется геометрическим, если линейное пространство, из которого он берется, является линейным топологическим пространством.

Теперь посерьезнее.
При глубоком рассмотрении вопроса принципиальная разница между геометрическими и другими векторами стирается. Геометрический вектор - понятие, скорее, дидактическое, а не математическое.
А сама математика едина, за последние 150 лет различные ее разделы очень тесно переплелись друг с другом и продолжают переплетаться и поныне.