Как работают переключатель режимов елочной гирлянды, объясните пожалуйста

микросхема там есть

Я помню в советское время были большие и тяжёлые, на полу под ёлкой лежали, но вечные были , не ломались

внутри микросхемы есть фиксатор.

Запрограммированная микросхема все время отслеживает замыкание контакта (та самая кнопка), потом согласно алгоритму, например, устанавливает значение внутренней переменной на 1 больше, если значение превысило максимум (число программ мигания на гирлянде), то оно присваивается 1. Потом по таймеру и значению этой переменной определенные лампочки зажигаются/тухнут.
Если вам интересна тема программируемых микросхем, то можете попробовать что-то на arduino (физические платы + среда программирования на них + язык программирования), Есть виртуальные платы (для обучения, отладки, развлечения). Китайцы делают много клонов оригинальных плат.
Это не единственные программируемые микросхемы, просто относительно низкий порог входа для тех, кто более менее в технике понимает.

Там бегущие огни только и три цвета. Рукой прогоммируешь, последовательность и красить лампочки. Триггеры. Три.