5. Воображаемый крот в форме куба (объём v=1) прорыл ход в кубической горе (V=125), двигаясь точно вдоль главной...
...диагонали горы так, что главная диагональ крота всё время лежала на главной диагонали горы, а рёбра крота оставались параллельны рёбрам горы.
Найти отношение объёма выброшенной породы к объёму горы. Ответ округлите до тысячных.
Эту задачу, позаимствованную мной из серии олимпиадных задач, я уже задал здесь. Сам пытался решить, но неудачно. Получил и ответы. Привожу свою "свежую" попытку.
Поперечное сечение прохода равно √3: с этим были согласны и все ответившие.
Средняя длина прохода, счевидно, лежит между длиной главной диагонали большого куба 5√3 и длиной, равной длине главной диагонали большого куба МИНУС длина главной диагонали малого куба; т.е. между 5√3 и (5--1)√3= 4√3. ПРИМЕМ: 4,5√3 (в точности этого числа не уверен).
Тогда объём вырытого грунта: √3*4,5√3= 13,5.
Искомое отношение объёмов: 13,5/125= 0,108.
Верен ли сей ответ?
Ну вот зачем героически решать проблемы, которые сами себе создали. Вырезанная фигура - не призма, формула "произведение площади основания на высоту" к ней, очевидно, не подходит. Но нет, мы крутые, мы площадь нашли... Круче нас только яйца! Ну неудобно же. Куча более удобных проекций - нет, обязательно так повернуть, чтобы неудобно было.
Разрежем куб-скалу на слои, параллельные одной из граней. На грубом языке координат - смотрим на сечение плоскостью z=zo. Координаты ввели так, чтобы куб-скала задавался условиями 0<=x,y,z<=5.
В этом сечении куб-скала - это квадрат 5х5, точка с координатами (zo,zo) - это точка, на главной диагонали куба-скалы.
Куб-крот, когда будет прогрызаться через это сечение, вырежет квадраты 1x1, первый из которых коснётся точки (zo,zo) одним углом, последний - противоположным. Все эти квадраты вместе создадут 6-угольник сложной формы, который нарисован на рисунке (первый квадрат нарисован красным цветом, последний - зелёным, промежуточные - тонкими серыми линиями).
Когда 1<=zo<=4, площадь выгрызенной части - 3. Объём выгрызенной части для 1<=zo<=4 - это 3*3=9, тут как раз призма, хоть и не прямоугольная.
Когда zo<1, площадь можно найти как 1+2*zo (снаружи - часть красного квадрата, площадью 1-zo*zo, и части треугольников, площадью (1-zo)^2). Как там кто представляет себе интегралы, но объём выгрызенной части для 0<=zo<=1 записывается так
Integrate[1 + 2 z, {z, 0, 1}] =2.
Объём выгрызенной части для 4<=zo<=5 точно такой же, тоже 2.
Итого, объём выброшенной части - 2+9+2=13, изначальный объём горы - 5*5*5=125, отношение 0.104, округлять необходимости нет.
.
Крот роет тремя передними гранями объем, составленных из трёх наклонных призм (бирюзовое). Высота призм 5-1=4, а площади оснований - это единичные грани. Плюс объем, который занимал крот в горе в самом начале (желтое). Итого: 3*4+1 = 13.
Меня умиляет, как вам удаётся усложнить задачу радикалами))
Давайте так: длина главных диагоналей большого и малого кубов 5sqrt(3)
и sqrt(3) соответственно. Сечение норы - sqrt(3). Крот начинает рыть нору и в некоторый момент проходит длину, равную длине своей главной диагонали, вырыв при этом 1 м3 породы. Далее ему придется пройти еще расстояние (5-1)*sqrt(3) до достижения кромки горы. Умножаем это на сечение норы и прибавляем первый кубометр, получаем
4sqrt(3)*sqrt(3)+1=13
нам эту задачу в тервере давали, ну или очень похожую. Надо было соотношение объёмов высчитать. Я мозг чуть не сломал пока мне правильный чертёж знакомый с матмеха не нарисовал, но помню что объёмные расчёты были.
Это логично что кубический крот рыл прямой кубический ход в кубической горе. Еслиб он отклонился от какоц то "направляющей" зод получился бы уже не прямым. У меня ктвам встречный вопрос. А почему крот воображаемый , зачем он копал по диагонали, ведь мог бы копать сверху вниз. И кубическая порода которую он прокопал, будет ли заваливать ход, или будет изчезать ибо она тоже воображаемая?