Олимпиада по математике!!!!!
Внутри трапеции ABCDABCD с основаниями AD и BC отметили точку O. Оказалось, что AO=BO=CO=BC и DA=DO=DC. Сколько градусов составляет угол BAO?
20 градусов
Обозначим длину BC как a. Тогда AO = BO = CO = a, и DA = DO = DC = a.
Рассмотрим треугольник BOC. Так как BO = CO = BC = a, то треугольник BOC — равносторонний, и угол BOC = 60°.
Рассмотрим треугольник DAO. Так как DA = DO = a, то треугольник DAO — равнобедренный. Угол DAO = угол OAD.
Рассмотрим треугольник DCO. Так как DC = DO = a, то треугольник DCO — равнобедренный. Угол DCO = угол ODC.
Так как AO = BO = CO = a, точка O является центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Угол ABC вписан в эту окружность и опирается на дугу AC. Угол AOC является центральным углом, опирающимся на ту же дугу. Следовательно, угол ABC = угол AOC / 2. Поскольку треугольник BOC равносторонний, угол BOC = 60°, а угол AOC = 120°. Значит, угол ABC = 120°/2 = 60°.
Теперь рассмотрим треугольник ABO. AO = BO = a. Угол ABO = 180° - 60° = 120°. По теореме косинусов для треугольника ABO:
AB² = AO² + BO² - 2(AO)(BO)cos(60°) AB² = a² + a² - 2a² * (1/2) = a²
Следовательно, AB = a.
Поскольку AB = BC = AO = BO = CO = a, и DA = DO = DC = a, треугольники ABO и BOC — равносторонние. Следовательно, угол BAO = 60°.
Ответ: 60 градусов
45 градусов