Вычислить массу дуги материальной линии l с плотностью 

Question

Вычислить массу дуги материальной линии l с плотностью 

данил кричфалуший Знаток (381), открыт 19 часов назад

С решением пожалуйста

Answer 1

Для вычисления массы дуги материальной линии с плотностью 10,12 кг/м и уравнением y=2x на отрезке x∈(1,2) используйте формулу массы дуги:

M=
2
1

∗ρ∗(b
2
−a
2
)∗L,

где ρ — плотность (10,12 кг/м), a — начало отрезка (1 м), b — конец отрезка (2 м), L — длина дуги.

Сначала найдём длину дуги. В данном случае уравнение y=2x задаёт прямую линию, поэтому длина дуги будет равна длине отрезка b−a=2−1=1.

Теперь подставим значения в формулу массы дуги:

M=
2
1

∗10,12∗(2
2
−1
2
)∗1=10,12∗(3)∗1=30,36 кг.

Таким образом, масса дуги составляет 30,36 кг.

Answer 2

 m = ∫μdl = ∫x⁴dl
(dl)² = (dx)²+(dy)² = (dx)²(1+(dy/dx)²)
dy/dx = d/dx(2ln(x)) = 2/x
dl = √(1+4/x²)dx = xˉ¹√(x²+4)dx
m = ∫x⁴xˉ¹√(x²+4)dx = ∫x³√(x²+4)dx = ∫√(x²+4)½x²dx²
Замена: ξ = x²+4      x² = ξ-4
½∫√ξ(ξ-4)dξ = ½(∫√(ξ³)dξ-4∫√ξdξ) = ξ²√ξ/5-4ξ√ξ/3 = ξ√ξ(ξ/5-4/3) = √(x²+4)³((x²+4)/5-4/3)
Подстановка: верхний предел x=2, нижний предел x=1
m = 8√8(8/5-4/3)-5√5(5/5-4/3) = 8√8(24-20)/15+5√5/3
m=32√8+5√5/3
m=97.96