Решить задачу Коши

Вы дали задачу нахождения решения дифференциального уравнения первого порядка с начальным условием:

x' + xsin(t) = cos(t),
x(0) = 1.

Для решения этой задачи можно использовать метод интегрирующего множителя.

Интегрирующий множитель для этого уравнения будет равен e^(∫sin(t)dt), то есть e^(-cos(t)).

Умножим обе части уравнения на этот множитель:

e^(-cos(t)) * x' + e^(-cos(t)) * xsin(t) = e^(-cos(t)) * cos(t).

Левая часть уравнения теперь есть производная произведения x и e^(-cos(t)):

(x * e^(-cos(t)))' = e^(-cos(t)) * cos(t).

Проинтегрируем обе части уравнения по t от 0 до t, используя начальное условие x(0) = 1:

x(t) * e^(-cos(t)) - x(0) * e^(1) = ∫[от 0 до t] e^(-cos(u)) * cos(u) du.

Подставим x(0) = 1 и перенесем слагаемое, содержащее 1, в правую часть:

x(t) * e^(-cos(t)) = e + ∫[от 0 до t] e^(-cos(u)) * cos(u) du.

Теперь разделим обе части уравнения на e^(-cos(t)), чтобы изолировать x(t):

x(t) = e^(1 - cos(t)) + e^(-cos(t)) ∫[от 0 до t] e^(-cos(u)) * cos(u) du.

Это явное выражение для решения задачи Коши.

Важно отметить, что второй член в правой части уравнения представляет собой неэлементарную функцию и обычно не может быть вычислено в замкнутой форме. Однако это точное решение заданной задачи.