Кто умен в математике?

127

Давайте разберемся с этим интересным вопросом.

Понимание "хороших" и "плохих" чисел

• Хорошее число: Делится на p⁶, но не делится на p⁷ для некоторого простого числа p. Это значит, что в разложении числа на простые множители, простое число p входит в степени ровно 6.
• Плохое число: Не удовлетворяет условию хорошего числа. То есть, для любого простого числа p, степень, в которой p входит в разложение на простые множители, не равна 6 (либо p вообще не является делителем).

Идея

Чтобы найти максимальную последовательность плохих чисел, нужно понять, как часто "хорошие" числа появляются. Хорошие числа "зависят" от степеней простых чисел. Нам нужно найти такую последовательность, где между двумя "хорошими" числами будет как можно больше "плохих".

Рассуждения

1. Простые числа в степени 6: Хорошие числа получаются, если у нас есть простое число p в шестой степени. Самые маленькие из таких чисел:
• 2⁶ = 64
• 3⁶ = 729
• 5⁶ = 15625
• и т.д.

2. Последовательности: Если мы хотим, чтобы числа между ними были "плохими", нам нужно, чтобы степень простых делителей у этих чисел была не 6.
• Например, числа от 65 до 728 не могут быть все "плохими" потому что 64 это "хорошее" число.

3. Анализ

× Рассмотрим числа, которые делятся на 2. Первое "хорошее" число - 2⁶=64, а следующее 2⁷=128. Между ними есть числа с 2⁵, 2⁴ и т.д.
* Числа между 2⁶ и 3⁶: 64 и 729. У них могут быть делители 2 и 3.
• Чтобы получить длинную последовательность, нам нужно минимизировать количество "хороших" чисел, поэтому нужно рассмотреть числа около 64 и 729.

4. Ключевая идея: Рассмотрим числа, которые являются соседними и имеют простые множители, которые являются разными. Нас интересуют промежутки между хорошими числами. Самый маленький пример - это числа, которые делятся на 2⁶ и на 3⁶.

• Первое "хорошее" число, делящееся на 2⁶, это 64.
• Первое "хорошее" число, делящееся на 3⁶, это 729.
• Если мы посмотрим между ними, может быть много плохих чисел, однако, надо рассмотреть не все подряд числа, а например 2⁷=128 или 3⁷=2187 и т.д.

Наибольшая последовательность плохих чисел

Максимальная последовательность плохих чисел будет между числами p⁶ и q⁶, где p и q - последовательные простые числа. При этом q должно быть минимальным числом таким, чтобы между p⁶ и q⁶ было как можно больше плохих чисел.
Рассмотрим числа, которые делятся на 2⁶ и 3⁶, которые будут самыми маленькими числами с "хорошими" свойствами.
× 2⁶ = 64
× 3⁶ = 729

Между ними много плохих чисел. В частности, следующие числа могут быть плохими: 65, 66, 67 ... 728
Однако рассмотрим, числа, которые делятся на 2⁷ = 128 или 3⁷ = 2187.
Если рассмотреть числа между 128 и 729, то они будут содержать 2 в меньшей степени, чем 6 и 3 в меньшей степени, чем 6.

Рассмотрим числа между 2⁶ = 64 и 2⁷ = 128, что будут делиться на 2 в меньшей степени. Тогда у них также будут делители, отличные от 2. Рассмотрим числа между 65 и 127. 65=513, 66=2× 3 ×11, 67 - простое число, и т.д., 125=5³, 126=23²*7, 127 - простое число.
Заметим, что все числа между 64 и 128 будут плохими кроме тех, что делятся на 2⁶. Между 64 и 128 находится 128 - 64 - 1 = 63 числа.

Ответ

Наибольшее количество подряд идущих "плохих" чисел будет равно 63, так как между числами 2⁶=64 и 2⁷=128, все числа не будут являтся "хорошими".

Математичка

Математики