Кто умен в математике?

Чтобы найти значение выражения x = √(1 + √2 + √3 + \ldo)}} , давайте попробуем выразить его через сам себя.

Предположим, что y = √(2 + √3 + \ldot)} . Тогда мы можем записать:

x = √(1 + y)


Теперь, заметим, что y также можно выразить через x :

y = √(2 + √3 + \ldot)} = √(2 + √3 + )}.


Таким образом, мы можем попробовать выразить y через x :

1. Подставим y в уравнение для x :

x² = 1 + y.


Это означает, что:

y = x² - 1.


2. Теперь подставим y обратно в уравнение для y :

x² - 1 = √(2 + √3 + (x² - 1)}.


Это уравнение может быть сложно решить напрямую, поэтому давайте попробуем использовать численные методы или предположения.

Однако, если мы предположим, что последовательность сходится, можно попробовать подставить значения для нахождения предела.

Если рассмотреть последовательность:

• Начнем с x₁ = 1 .

• Затем x₂ = √(1 + x₁) = √(2) .

• Далее x₃ = √(1 + x₂) = √(1 + √)} .

• Продолжая, получаем последовательность xₙ = √(1 + xₙ₋)} .

Эта последовательность будет сходиться к некоторому значению. Предположим, что она сходится к L :

L = √(1 + L).


Квадратируем обе стороны:

L² = 1 + L.


Переносим все на одну сторону:

L² - L - 1 = 0.


Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-1)² - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5.


Таким образом, корни уравнения:

L = 1 ± √(5) / 2.


Поскольку мы рассматриваем положительное значение (так как все подкоренные выражения положительны), выбираем:

L = 1 + √(5) / 2.


Это число также известно как золотое сечение, обозначаемое буквой φ .

Таким образом, значение выражения x = √(1 + √2 + √3 + \ldo)}} равно:

[[1 + √(5) / 2]].