Аналитическая геометрия. Даны точки А1(-1;0;2), А2(-3;-4;-4), А3(-5;-2;-2), А4(1;-1;-4) вершины пирамиды.

Давайте решим задачи по аналитической геометрии шаг за шагом.

**1. Найдем векторы, необходимые для дальнейших расчетов:**

* **A1A2** = (-3 - (-1); -4 - 0; -4 - 2) = (-2; -4; -6)
* **A1A3** = (-5 - (-1); -2 - 0; -2 - 2) = (-4; -2; -4)
* **A1A4** = (1 - (-1); -1 - 0; -4 - 2) = (2; -1; -6)
* **A2A3** = (-5 - (-3); -2 - (-4); -2 - (-4)) = (-2; 2; 2)
* **A2A4** = (1 - (-3); -1 - (-4); -4 - (-4)) = (4; 3; 0)
* **A3A4** = (1 - (-5); -1 - (-2); -4 - (-2)) = (6; 1; -2)

**2. Найдем углы:**

**1) Угол между A1A4 и плоскостью A1A2A3:**

Сначала найдем нормаль к плоскости A1A2A3, вычислив векторное произведение A1A2 и A1A3:

**N** = A1A2 x A1A3 =
| i j k |
| -2 -4 -6 |
| -4 -2 -4 | = ((-4)*(-4) - (-6)*(-2))i - ((-2)*(-4) - (-6)*(-4))j + ((-2)*(-2) - (-4)*(-4))k = (4; 16; -12)

Можно сократить вектор нормали на 4, получим: **N** = (1; 4; -3)

Теперь найдем косинус угла между A1A4 и N:

cos(α) = (**A1A4** · **N**) / (|**A1A4**| * |**N**|) = (2*1 + (-1)*4 + (-6)*(-3)) / (√(2² + (-1)² + (-6)²) * √(1² + 4² + (-3)²)) = 16 / (√41 * √26)

Угол между вектором и плоскостью - это угол между вектором и его проекцией на эту плоскость. Он равен 90 градусов минус угол между вектором и нормалью к этой плоскости.

sin(φ) = cos(α) = 16 / (√41 * √26)

φ = arcsin(16 / (√41 * √26))

**2) Угол между плоскостями A1A3A4 и A2A3A4:**

Найдем нормаль к плоскости A1A3A4, вычислив векторное произведение A1A3 и A1A4:

**N1** = A1A3 x A1A4 =
| i j k |
| -4 -2 -4 |
| 2 -1 -6 | = (8; -32; 8)

Сократим на 8: **N1** = (1; -4; 1)

Найдем нормаль к плоскости A2A3A4, вычислив векторное произведение A2A3 и A2A4:

**N2** = A2A3 x A2A4 =
| i j k |
| -2 2 2 |
| 4 3 0 | = (-6; 8; -14)

Сократим на -2: **N2** = (3; -4; 7)

Теперь найдем косинус угла между N1 и N2:

cos(β) = (**N1** · **N2**) / (|**N1**| * |**N2**|) = (1*3 + (-4)*(-4) + 1*7) / (√(1² + (-4)² + 1²) * √(3² + (-4)² + 7²)) = 26 / (√18 * √74)

β = arccos(26 / (√18 * √74))

**3. Уравнение прямой A1A2:**

Каноническое уравнение прямой: (x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c

где (x0, y0, z0) - точка на прямой, (a, b, c) - направляющий вектор.

В нашем случае, (x0, y0, z0) = A1(-1; 0; 2), (a, b, c) = A1A2 = (-2; -4; -6).

Уравнение прямой A1A2: (x + 1) / (-2) = y / (-4) = (z - 2) / (-6)

Можно сократить на -2: **(x + 1) / 1 = y / 2 = (z - 2) / 3**

7; -38/37)**

да, такие могут быть