Математика профиль ЕГЭ, сложная вероятность.
Задача: Турнир по теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения 0.5 Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?
В решении сказано ,что в турнире всего 15 пар ,количество их сочетаний 120. Из этого следует ,что вероятность встречи 15/120 то есть 1/8. В пояснении сказано ,что в 15 парах два друга точно встретятся, поэтому 15/120 имеет смысл. А почему они встретятся то ,я не понимаю этого .Ведь один из них тоже может проиграть. А эта вероятность никак не учитывается.
Объясните мне ,почему 15/120 имеет смысл ,ведь один из них может выбыть
в турнире 16 игроков, и они разбиваются на 15 пар. вероятность, что иван и алексей встретятся, считается из всех возможных пар. даже если один из них проиграет, в момент жеребьёвки они могут встретиться. мне это помогло на уроках, когда я училась с Умскул .
представь, что турнир как дерево, где каждый матч — случайная ветка. чтобы иван и алексей встретились, они должны попасть в одну ветку на каком-то уровне. но из-за случайного жребия каждый раз их пути могут пересечься или нет. здесь хитрость в том, что всего возможных пар из 16 человек — 120 (это как все возможные комбинации "кто с кем мог бы сыграть"). а матчей в турнире всего 15 (потому что каждый матч выбывает один человек, а чтобы выбыли 15, нужно 15 матчей). получается, турнир — это как выбрать 15 пар из 120 возможных. и вероятность, что конкретная пара (иван и алексей) попадёт в эти 15, будет 15/120, то есть 1/8.
да, один из них может вылететь раньше, но это уже встроено в расчёт: если, например, иван вылетает в первом туре, то пара "иван-алексей" просто не может быть среди оставшихся матчей. но мы считаем все возможные сценарии, где они оба доходят до встречи, и это автоматически учитывается в формуле. так что ответ 1/8 — это как средняя вероятность по всем возможным вселенным, где турнир развивается случайно.
1-й раунд: вероятность встречи 1/120
2-й раунд: 1/28
3-й раунд: 1/6
4-й раунд: 1
Т. к. для встречи нужно обоим победить, то:
Победа в 1-ом: 1/2 * 1/2 = 1/4
Во 2-ом: 1/2 * 1/2 = 1/4
В 3-ем: 1/2 * 1/2 = 1/4
Тогда
P = 1/120 + 1/4 * 1/28 + 1/16 * 1/6 + 1/64 * 1 = ответ