Найти проекцию точки A(-1, 1, 3) на прямую, заданную как пересечение двух плоскостей:
x - 2z + 5 = 0 и 2x + 3y - z + 4 = 0
Помогите, пожалуйста, как такое вообще решать ( Нашел направляющий вектор прямой, заданной пересечением двух плоскостей, потом каноническое уравнение этой прямой по точке M (принадлежащей пересечению плоскостей, найдена путем подбора) и этому вектору, а дальше не пойму че с этим делать. Перпендикуляр из точки А к прямой опустить - это понятно, а пересечение его с прямой как найти?
Чтобы найти проекцию точки
𝐴
(
−
1
,
1
,
3
)
на прямую, заданную как пересечение двух плоскостей:
{
𝑥
−
2
𝑧
+
5
=
0
2
𝑥
+
3
𝑦
−
𝑧
+
4
=
0
выполним следующие шаги:
1. Найдем направляющий вектор прямой.
Прямая задана как пересечение двух плоскостей. Направляющий вектор прямой
𝑠
→
можно найти как векторное произведение нормальных векторов плоскостей.
Нормальные векторы плоскостей:
𝑛
1
→
=
(
1
,
0
,
−
2
)
,
𝑛
2
→
=
(
2
,
3
,
−
1
)
Векторное произведение:
𝑠
→
=
𝑛
1
→
×
𝑛
2
→
=
|
𝑖
𝑗
𝑘
1
0
−
2
2
3
−
1
|
=
𝑖
(
0
⋅
(
−
1
)
−
(
−
2
)
⋅
3
)
−
𝑗
(
1
⋅
(
−
1
)
−
(
−
2
)
⋅
2
)
+
𝑘
(
1
⋅
3
−
0
⋅
2
)
𝑠
→
=
𝑖
(
6
)
−
𝑗
(
−
1
+
4
)
+
𝑘
(
3
)
=
(
6
,
−
3
,
3
)
Упростим вектор, разделив на 3:
𝑠
→
=
(
2
,
−
1
,
1
)
2. Найдем параметрические уравнения прямой.
Для нахождения параметрических уравнений прямой, найдем точку, лежащую на прямой. Подставим
𝑧
=
0
в уравнения плоскостей:
{
𝑥
−
2
⋅
0
+
5
=
0
⇒
𝑥
=
−
5
2
𝑥
+
3
𝑦
−
0
+
4
=
0
⇒
2
(
−
5
)
+
3
𝑦
+
4
=
0
⇒
−
10
+
3
𝑦
+
4
=
0
⇒
3
𝑦
=
6
⇒
𝑦
=
2
Точка на прямой:
𝑃
0
(
−
5
,
2
,
0
)
.
Параметрические уравнения прямой:
{
𝑥
=
−
5
+
2
𝑡
𝑦
=
2
−
𝑡
𝑧
=
0
+
𝑡
3. Найдем проекцию точки
𝐴
(
−
1
,
1
,
3
)
на прямую.
Проекция точки
𝐴
на прямую — это точка
𝑃
, лежащая на прямой, такая, что вектор
𝐴
𝑃
→
перпендикулярен направляющему вектору прямой
𝑠
→
.
Координаты точки
𝑃
:
𝑃
(
−
→
=
(
𝑥
𝑃
−
𝑥
𝐴
,
𝑦
𝑃
−
𝑦
𝐴
,
𝑧
𝑃
−
𝑧
𝐴
)
=
(
−
5
+
2
𝑡
−
(
−
1
)
,
2
−
𝑡
−
1
,
𝑡
−
3
)
=
(
−
4
+
2
𝑡
,
1
−
𝑡
,
𝑡
−
3
)
Условие перпендикулярности:
𝐴
𝑃
→
⋅
𝑠
→
=
0
(
−
4
+
2
𝑡
)
⋅
2
+
(
1
−
𝑡
)
⋅
(
−
1
)
+
(
𝑡
−
3
)
⋅
1
=
0
−
8
+
4
𝑡
−
1
+
𝑡
+
𝑡
−
3
=
0
6
𝑡
−
12
=
0
⇒
𝑡
=
2
Подставляем
𝑡
=
2
в параметрические уравнения прямой:
{
𝑥
=
−
5
+
2
⋅
2
=
−
1
𝑦
=
2
−
2
=
0
𝑧
=
2
Ответ:
Проекция точки
𝐴
(
−
1
,
1
,
3
)
на прямую:
(
−
1
,
0
,
2
)
Че