Т-БАНК 3.4 Упражнения по теме «Вспомогательные оценки» СРОЧНО!
Кирилл задумал четырёхзначное число, цифры которого идут по возрастанию. Он стал менять местами три последние цифры всеми возможными способами и записал по одному разу на доску все получившиеся числа, включая исходное. Оказалось, что сумма всех чисел на доске равна 29106 . Какое число задумал Кирилл?
DeepSeek-R1:
Кирилл задумал четырехзначное число, цифры которого идут по возрастанию. Он менял местами три последние цифры всеми возможными способами и записал все получившиеся числа, сумма которых оказалась равна 29106. Нам нужно найти исходное число.
1. **Анализ задачи**:
- Число имеет вид ABCD, где A < B < C < D.
- Три последние цифры B, C, D можно переставить 6 способами (3!).
- Сумма всех чисел, полученных перестановкой, равна 29106.
2. **Вклад каждой цифры в разряды**:
- В разряде тысяч во всех числах стоит A, сумма: 6 * A * 1000.
- В разрядах сотен, десятков и единиц каждая из цифр B, C, D встречается по 2 раза, сумма: 2 * (B + C + D) * (100 + 10 + 1).
3. **Уравнение суммы**:
6 * A * 1000 + 2 * (B + C + D) * 111 = 29106.
Упрощаем:
6000A + 222(B + C + D) = 29106.
Делим на 6:
1000A + 37(B + C + D) = 4851.
4. **Нахождение A**:
- Перебор возможных значений A (от 1 до 9) показывает, что только A = 4 дает целое значение для суммы B + C + D:
1000 * 4 + 37(B + C + D) = 4851 → 37(B + C + D) = 851 → B + C + D = 23.
5. **Поиск цифр B, C, D**:
- Единственная тройка различных цифр, удовлетворяющая условию B < C < D и сумме 23: 6, 8, 9.
6. **Проверка**:
- Исходное число: 4689.
- Перестановки последних трех цифр: 4689, 4698, 4869, 4896, 4968, 4986.
- Сумма этих чисел: 29106, что соответствует условию.
**Ответ**: \(\boxed{4689}\)