Решите пожалуйста задачи по геометрии
1. Сторона квадрата ABCD равна 8 см. Точка М удалена от каждой его вершины на 16 см. Вычислите:
а) длину проекции отрезка МС на плоскость квадрата; б) расстояние от точки М до плоскости квадрата.
2. Катет МР прямоугольного треугольника расположен в плоскости а. ( с дано и с чертежом!)
Вершина К удалена от неё на 5 см. МР = 12 см,
КР = 9 см, <P = 90°.
а) вычислите длину проекции гипотенузы треугольника на
плоскость а.
б) докажите, что прямая МР перпендикулярна плоскости, в которой лежат прямая КР и её проекция на плоскость а. ( с дано и чертежом!)
Задача 1:
а) Пусть O - центр квадрата ABCD. Тогда проекцией отрезка MC на плоскость квадрата является отрезок OC. Так как O - центр квадрата, то OC = (1/2) * AC. Диагональ квадрата AC = a√2 = 8√2 см. Следовательно, OC = (1/2) * 8√2 = 4√2 см.
б) Расстояние от точки M до плоскости квадрата - это длина перпендикуляра MO, опущенного из M на плоскость квадрата. Рассмотрим прямоугольный треугольник MOC. По теореме Пифагора: MO² = MC² - OC² = 16² - (4√2)² = 256 - 32 = 224. MO = √224 = 4√14 см.
Задача 2:
а) Пусть K' - проекция точки K на плоскость α. Тогда KK' = 5 см и KP = 9 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник KPK'. По теореме Пифагора: K'P² = KP² - KK'² = 9² - 5² = 81 - 25 = 56. K'P = √56 = 2√14 см. Так как MP лежит в плоскости α, то проекцией гипотенузы MK на плоскость α является отрезок MP. Значит, длина проекции гипотенузы MK на плоскость α равна длине отрезка MP, т.е. 12 см.
б) Доказательство:
1. KP перпендикулярна MP (дано, угол P = 90°).
2. KK' перпендикулярна плоскости α (по определению проекции). Значит, KK' перпендикулярна MP (т.к. MP лежит в плоскости α).
3. Следовательно, MP перпендикулярна двум пересекающимся прямым KP и KK' в плоскости, определяемой этими прямыми.
4. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, MP перпендикулярна плоскости, в которой лежат прямая KP и её проекция K'P на плоскость α.
Я подумаю