Помогите с алгеброй пожалуйста
1. Найдите длину отрезка АВ и координаты его середины, если А (-3; 2) и В (1; -5).
2. Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке М (1; -3) и которая проходит через точку K (-4; 2).
4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки К (3; -2) и Р (5; 2).
5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек А (-2; 3) и В (6; 1).
Решения задач по алгебре:
1. Длина отрезка АВ и координаты середины:
* Длина отрезка АВ:
Длина отрезка AB вычисляется по формуле расстояния между двумя точками:
AB = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2)
Подставляем координаты точек A(-3; 2) и B(1; -5):
AB = √((1 - (-3))^2 + (-5 - 2)^2) = √((4)^2 + (-7)^2) = √(16 + 49) = √(65)
Ответ: Длина отрезка AB равна √(65).
* Координаты середины отрезка АВ:
Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:
x_M = x_A + x_B/2 и y_M = y_A + y_B/2
Подставляем координаты точек A(-3; 2) и B(1; -5):
x_M = -3 + 1/2 = -2/2 = -1
y_M = 2 + (-5)/2 = -3/2 = -1.5
Ответ: Координаты середины отрезка AB: M(-1; -1.5).
2. Уравнение окружности:
* Общий вид уравнения окружности:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2, где (a; b) - координаты центра, R - радиус.
* Находим радиус окружности:
Радиус равен расстоянию от центра M(1; -3) до точки K(-4; 2):
R = √((x_K - x_M)^2 + (y_K - y_M)^2)
R = √((-4 - 1)^2 + (2 - (-3))^2) = √((-5)^2 + (5)^2) = √(25 + 25) = √(50)
* Составляем уравнение окружности:
Подставляем координаты центра M(1; -3) и радиус R = √(50) в общее уравнение:
(x - 1)^2 + (y - (-3))^2 = (√(50))^2
(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 50
Ответ: Уравнение окружности: (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 50.
4. Уравнение прямой, проходящей через точки К (3; -2) и Р (5; 2):
* Общий вид уравнения прямой:
y = kx + b
* Находим угловой коэффициент k:
k = y_P - y_K/x_P - x_K
k = 2 - (-2)/5 - 3 = 4/2 = 2
* Находим b:
Подставляем координаты любой из точек (например, K(3; -2)) и найденный k в уравнение прямой:
-2 = 2 * 3 + b
-2 = 6 + b
b = -8
* Составляем уравнение прямой:
Подставляем найденные значения k и b в уравнение прямой:
y = 2x - 8
Ответ: Уравнение прямой: y = 2x - 8.
5. Координаты точки на оси абсцисс, равноудаленной от А (-2; 3) и В (6; 1):
* Общий вид точки на оси абсцисс:
Точка на оси абсцисс имеет вид (x; 0). Обозначим искомую точку как C(x; 0).
* Равенство расстояний:
По условию, AC = BC. Запишем это с помощью формулы расстояния:
√((x - (-2))^2 + (0 - 3)^2) = √((x - 6)^2 + (0 - 1)^2)
√((x + 2)^2 + 9) = √((x - 6)^2 + 1)
* Решаем уравнение:
Возводим обе части уравнения в квадрат:
(x + 2)^2 + 9 = (x - 6)^2 + 1
x^2 + 4x + 4 + 9 = x^2 - 12x + 36 + 1
x^2 + 4x + 13 = x^2 - 12x + 37
16x = 24
x = 24/16 = 3/2 = 1.5
Ответ: Координаты искомой точки: C(1.5; 0).
