Синусы и косинусы в тригонометрических уравнениях
Встретил уравнения
sin x = ⅐
cos x = ⅓
В интернете не могу найти инфу по решению данных задач. Дайте пожалуйста формулы для таких уравнений и объясните, как решать их. Буду очень благодарен
1. Уравнение ( \sin x = \frac{1}{2} )
Для уравнения ( \sin x = \frac{1}{2} ) мы знаем, что синус равен ( \frac{1}{2} ) в следующих углах:
( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi ) (где ( k ) — любое целое число, учитывая периодичность функции)
( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi )
Таким образом, общее решение будет:
[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ]
2. Уравнение ( \cos x = \frac{1}{3} )
Для уравнения ( \cos x = \frac{1}{3} ) мы можем использовать арккосинус:
[ x = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = -\arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi ]
Поскольку косинус является четной функцией, можно записать:
[ x = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = 2\pi - \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi ]
Общие шаги для решения тригонометрических уравнений:
Определите значение функции: Найдите углы, для которых тригонометрическая функция равна заданному значению.
Используйте периодичность: Учитывайте периодичность тригонометрических функций (синус и косинус имеют период ( 2\pi )).
Запишите общее решение: Укажите общее решение с учетом всех возможных значений ( k ).
Пример:
Для ( \sin x = \frac{1}{2} ):
Углы: ( \frac{\pi}{6} ) и ( \frac{5\pi}{6} )
Общее решение: ( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi ) и ( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi )
Для ( \cos x = \frac{1}{3} ):
Углы: ( \arccos\left(\frac{1}{3}\right) ) и ( 2\pi - \arccos\left(\frac{1}{3}\right) )
Общее решение: ( x = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi ) и ( x = 2\pi - \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi )
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше примеров, дайте знать!
У тебя синус и косинус не инъективны, чтоб построить для них определения однозначных обратных функций, их сужают на множества, на которых они инъективны, и с которого их можно продлить на R по периодичности и другим евклидовым симметриям графиков.
С учетом оного, прочитай определения арксинуса и акркосинуса и вырази сам общие решения уравнений
cos x = a (при |a| <= 1) И
sin x = b (при |b| <= 1)
через частные решения arccos(a) и arcsin(b).
Разложи синус в ряд тейлора и получишь приблизительное значение
Взять арксинус и арккосинус. Все.
Давайте разберем, как решать уравнения вида sin x = a и cos x = a.
1. Уравнение sin x = ⅐
Решение:
x = (-1)^k * arcsin(⅐) + πk, где k ∈ Z
2. Уравнение cos x = ⅓
Решение:
x = ±arccos(⅓) + 2πn, где n ∈ Z
Объяснение:
- arcsin(a) и arccos(a) - это основные решения в первой четверти
- (-1)^k учитывает периодичность синуса
- ± учитывает симметричность косинуса относительно оси Y
- πk и 2πn учитывают периодичность функций
Для проверки:
- arcsin(⅐) ≈ 0.785 радиан (≈ 45°)
- arccos(⅓) ≈ 1.231 радиан (≈ 70.5°)
Важно помнить:
1. |a| ≤ 1 для существования решения
2. Решения периодичны
3. Для sin x период π, для cos x - 2π
4. При решении нужно учитывать все четверти, где функция принимает данное значение
Для более сложных случаев, когда sin x = cos x, можно использовать деление на cos x (если он не равен 0) и получить уравнение tg x = 1, откуда x = π/4 + πk, k ∈ Z.
Эти формулы и принципы применимы для решения большинства базовых тригонометрических уравнений.
Вот я помог тебе? 🥺💖можешь мне перевести денег на карту за помощь? 2204120122128917💞