Как вычислить неопределенный интеграл?
Нужны пояснения к каждому действию и используемые формулы
Нахождение данного неопределённого интеграла сводится к замене переменной, а именно:
z = x^2 - 4.
Тогда дифференциал dz = d(x^2 - 4) = 2dx -> dx = dz/2. Подставим теперь в исходную формулу нашу новую переменную z.
Исходный интеграл сводится к виду Int[cos(z)dz/2]=(1/2)Int[cos(z)dz] {здесь Int обозначает знак неопределённого интеграла}.
Интеграл от косинуса является табличным и равен синусу:
(1/2)sin(z) + C = (1/2)sin(x^2 - 4) + C.
Ответ: (1/2)sin(x^2 - 4) + C.
вычисляем интеграл ∫x ⋅ cos(x² - 4) dx.
здесь удобно применить метод замены переменной.
возьмем за новую переменную выражение под косинусом:
пусть u = x² - 4.
найдем дифференциал du, взяв производную от u по x и умножив на dx:
du = d(x² - 4) = (x² - 4)' dx = 2x dx.
в нашем интеграле есть множитель x dx. выразим его из du:
x dx = du / 2.
подставим u и x dx = du/2 в исходный интеграл:
∫x ⋅ cos(x² - 4) dx = ∫cos(x² - 4) ⋅ (x dx) = ∫cos(u) ⋅ (du / 2).
вынесем константу 1/2 за знак интеграла:
(1/2) ∫cos(u) du.
теперь найдем интеграл от cos(u). по таблице интегралов ∫cos(u) du = sin(u).
получаем:
(1/2) sin(u) + c, где c - произвольная постоянная интегрирования.
осталось выполнить обратную замену, подставив вместо u его выражение через x (u = x² - 4):
(1/2) sin(x² - 4) + c.
ответ: ∫x ⋅ cos(x² - 4) dx = (1/2) sin(x² - 4) + c.