Задача по математике
Найти объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной данными линиями вокруг оси x: y=(x+2)^3, y=0, x=0
128π/7 — объём тела полученного при вращении криволинейной трапеции ограниченной линиями y=(x+2)^3, y=0, x=0, вокруг оси x.
Само решение:
Используем формулу для вычисления объёма тела вращения: V = π ∫[a, b] y^2 dx. 2
Найдём пределы интегрирования:
y=0 => (x+2)^3 = 0 => x+2 = 0 => x = -2.
Второй предел дан: x = 0.
Интегрируем от -2 до 0: V = π ∫[-2, 0] (x+2)^6 dx.
Сделаем замену: t = x+2, dt = dx.
При x = -2, t = -2 + 2 = 0.
При x = 0, t = 0 + 2 = 2.
V = π ∫[0, 2] t^6 dt.
V = π [t^7 / 7] | от 0 до 2.
V = π ( (2^7 / 7) - (0^7 / 7) ).
V = π ( 128 / 7 - 0 ).
V = 128π / 7.
Вроде так.
v = π ∫[a, b] y^2 dx
y = (x+2)^3
y^2 = ((x+2)^3)^2 = (x+2)^6
находим пределы интегрирования:
y=0 => (x+2)^3 = 0 => x+2 = 0 => x = -2
второй предел дан: x = 0
интегрируем от -2 до 0:
v = π ∫[-2, 0] (x+2)^6 dx
делаем замену: t = x+2, dt = dx
при x = -2, t = -2 + 2 = 0
при x = 0, t = 0 + 2 = 2
v = π ∫[0, 2] t^6 dt
v = π [t^7 / 7] | от 0 до 2
v = π ( (2^7 / 7) - (0^7 / 7) )
v = π ( 128 / 7 - 0 )
v = 128π / 7
