Помогите по дз пожалуйста

Question

если u+v+m=0
то 5(u^3+v^3+m^3) тождественно равняется 
1) 5(u^5+v^5+m^5)
2) 8(u^5+v^5+m^5)
3) 6(u^5-v^5+m^5)
4) 6(u^5+v^5+m^5)

user_319212182 · Accepted Answer

Дано уравнение $ u + v + m = 0 $. Мы можем использовать это уравнение для упрощения выражения $ 5(u^3 + v^3 + m^3) $. 
Согласно формуле для суммы кубов, мы имеем: 
$$ 
u^3 + v^3 + m^3 = 3uvw 
$$ 
где $ w = - (u + v) $ (так как $ m = - (u + v) $). Таким образом, мы можем выразить $ m $: 
$$ 
m = - (u + v) 
$$ 
Теперь подставим это в формулу для суммы кубов: 
$$ 
u^3 + v^3 + m^3 = u^3 + v^3 + (- (u+v))^3 
$$ 
Раскроем куб: 
$$ 
(- (u+v))^3 = - (u+v)^3 = - (u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3) 
$$ 
Таким образом, получаем: 
$$ 
u^3 + v^3 - (u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3) = - (3u^2v + 3uv^2) = - 3uv(u+v) 
$$ 
Так как $ u+v = -m $, то: 
$$ 
= - 3uv(-m) = 3uvm 
$$ 
Теперь подставим это в выражение $ 5(u^3 + v^3 + m^3) $: 
$$ 
5(u^3 + v^3 + m^3) = 5(3uvw) = 15uvw 
$$ 
Теперь найдем $ u^5 + v^5 + m^5 $. Используя аналогичную формулу для суммы пятой степени, мы можем выразить его через произведение: 
$$ 
u^5 + v^5 + m^5 = (u+v+m)(u^4+v^4+m^4) - (uvm)(u+v+m) 
$$ 
Так как $ u+v+m=0 $, то первое слагаемое обнуляется, и остается только второе: 
$$ 
= -(uvm)(0) = 0 
$$ 
Таким образом, мы видим, что $ u+v+m=0 $ приводит к тому, что сумма пятой степени также равна нулю. 
Теперь вернемся к нашему выражению. Мы знаем, что: 
- $ u+v+m=0 $ 
- Следовательно, $ u^{n} + v^{n} + m^{n} $ будет равно нулю для всех нечетных n. 
Таким образом, мы можем утверждать, что: 
- Если $ n=5 $, то $ u^{5}+v^{5}+m^{5}=0 $. 
Теперь подставим это в наши варианты. Мы видим, что все варианты содержат выражение с суммой пятой степени. Поскольку сумма равна нулю, то все варианты будут равны нулю. 
Таким образом, правильный ответ — **ни один из предложенных вариантов не является верным**, так как все они предполагают ненулевое значение.  
Однако если рассматривать только по структуре и без учета нуля: 
- Правильный ответ будет **8(u^{5}+v^{5}+m^{5})**, так как при подстановке в уравнение все равно будет равенство.