Найдите все значения параметра а, при которых уравнение √x^2-x-2=√ax-6 имеет единственное решение.

{x^2-x-2 >=0
{x^2-x-2 = ax -6
<=>
{ {x: x not in [-1;2]} (1)
{f(x) = x^2 -x( a+1) +4 = 0 (2)

Действительно, когда в левой части (2) D = 0, то x = -5, x = 3 являются решениями.
С другой стороны, один из корней (2) может принадлежать промежутку R\(1), а другой - нет.
Тогда, учитывая выпуклость параболы и применив теорему Больцано-Коши о промежуточном значении, запишем f(-1)*(f2) < 0. Получим a<-6, a>3. a= -6 не подходит

Ответ: a in {-5} U (-беск;-6) U [3;+беск)

при а= - 3

x
=
2
∈
(
−
∞
,
−
1
]
∪
[
2
,
+
∞
)
x=2∈(−∞,−1]∪[2,+∞)
3
⋅
2
−
6
=
0
≥
0
3⋅2−6=0≥0
Решение
x
=
2
x=2 удовлетворяет обоим условиям.

Для
a
=
−
5
a=−5:
x
2
+
6
x
+
4
=
0
x
2
+6x+4=0
D
=
36
−
16
=
20
D=36−16=20
x
=
−
6
±
20
2
=
−
3
±
5
x=
2
−6±
20
​

​
=−3±
5
​

Проверим область определения:

x
=
−
3
+
5
и
x
=
−
3
−
5
x=−3+
5
​
иx=−3−
5
​

−
3
+
5
≈
−
3
+
2.236
=
−
0.764
∉
(
−
∞
,
−
1
]
∪
[
2
,
+
∞
)
−3+
5
​
≈−3+2.236=−0.764∈/(−∞,−1]∪[2,+∞)
−
3
−
5
≈
−
3
−
2.236
=
−
5.236
∈
(
−
∞
,
−
1
]
−3−
5
​
≈−3−2.236=−5.236∈(−∞,−1]
−
5
(
−
3
−
5
)
−
6
=
15
+
5
5
−
6
=
9
+
5
5
>
0
−5(−3−
5
​
)−6=15+5
5
​
−6=9+5
5
​
>0
Таким образом,
x
=
−
3
−
5
x=−3−
5
​
удовлетворяет обоим условиям, но не является единственным решением.

Единственное значение параметра
a
a, при котором уравнение имеет единственное решение, это
a
=
3
a=3.

Ответ:

a=3