Что больше: e^pi или pi^e? =) Вопрос на засыпку. Без калькулятора, естесственно!

e^Pi

e^Pi больше.
Доказывать?

Здравствуйте!

Здесь предельно просто:

е^п >= п^е <==> Лог (е^п) >= Лог (п^е) <==> п Лог (е) >= е Лог (п) <==> п >= е Лог (п)

Снова берём Лог, получаем:

п >= е Лог (п) <==> Лог (п) >= Лог (е) + Лог (Лог (п) ) = 1 + Лог (Лог (п) )
<==> Лог (п) - Лог (Лог (п) ) >= 1

Пусть Н (х) = Лог (х) - Лог (Лог (х) )

Легко доказать (используя производную от х) , что для всех значений х > е, Н (х) строго возрастает и Н (е) = 1 >= 1. Из чего следует, что для всех значений х > е, Н (х) > 1. В частности, Н (п) > 1. Из выше приложенных вычислений, получаем результат.

Удачи!

В. Н. Е.