Всякую ли матрицу можно привести к диагональному виду?
Нам была дана теорема о приведении матрицы к диагональному виду:
"Всякую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к диагональному вид".
Но, если верить Википедии, такие матрицы должны "приводимы к Жордановой форме", с которой я, увы, не знаком.
Хотелось бы понять: верна ли всё-таки теорема и, если да, то в каких случаях. З
Спасибо!
Когда говорят об элементарных преобразованиях, то имеют в виду операции
со строками такие же, как в методе Гаусса. В этом смысле любую квадратную
матрицу можно привести к диагональному виду.
Другое дело - подобные преобразования, т. е. переход от матрицы А к
подобной ей матрице T^(-1)AT, где Т - матрица, составленная из собственных
векторов матрицы А. Так как не у всякой матрицы собств. векторы образуют
базис, то такое приведение к диагональному виду возможно не всегда.
В частности, если размер матрицы А есть n x n, и имеется n различных собств.
значений, то имеется базис, и А приводима к диагональному виду.
Но если есть кратные соб. значения, то базиса может не быть, и тогда вместо
диагонального вида приходится приводить к жорданову виду.
Пример матрицы: 1-я строка (0; 0), 2-я строка (1; 0). Элементарное
преобразование "меняем местами строки" приводит матрицу к диагональному
виду. Но собств. значение только одно (двукратное) , а именно, 0, базиса нет.
Подобным преобразованием матрица не приводится к диагональному виду.
(Сама матрица А как раз уже в жордановом виде) .