В целочисленной геометрической прогрессии сумма первых четырех членов равна 255, а третий член равен 48, найдите второй

Пусть знаменатель прогрессии q. Первый член прогрессии 48/q², второй 48/q, четвёртый 48q. Получаем уравнение

48(1/q² + 1/q + 1 + q) = 255;
(q³+q²+q+1)/q² = 255/48 = 85/16

16q³ + 16q² + 16q + 16 = 85q²;
16q³ − 69q² + 16q + 16 = 0.
По условию все члены прогрессии — целые числа, поэтому её знаменатель q является рациональным числом.
Все рациональные корни кубического уравнения следует искать среди дробей вида a/b, где a — делитель свободного члена уравнения (16), b — делитель коэффициента при старшем члене (также 16).
Таким образом, с точностью до знака q может быть только целой степенью двойки (положительной или отрицательной) :
±16; ±8; ±4; ±2; ±1; ±½; ±¼; ±1/8; &plsumn;1/16.
Кроме того, поскольку 48/q² (первый член прогрессии) целое число, значения q = ±16; ±8 отбрасываем
Подбором убеждаемся, что q=4 является корнем; после деления на (q−4) переписываем кубическое уравнение в виде
(q−4)(16q²−5q−4) = 0.
Как легко убедиться, квадратный трёхчлен не имеет рациональных корней, поэтому единственный вариант q=4.

Отсюда второй член прогрессии равен 48/4=12. А вся прогрессия имеет вид 3, 12, 48, 192.

ОТВЕТ: второй член прогрессии равен 12.