Непрерывные случайные величины. Показательное распределение. Как решается такая задача?

Question

Непрерывные случайные величины. Показательное распределение. Как решается такая задача?

Demonita Знаток (374), закрыт 12 лет назад

.(теория вероятности)

Пусть Х (часть) - время, необходимое для выполнения теста по математике, удовлетворяет показательному распределению с параметром λ=0,35 (час^-1 ).
1)Записать выражение функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x)
2)Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х
3)Вычислить вероятность того, что время, необходимое для выполнения теста, не привысит 3ч.

Answer 1

Случайная величина подчиняется показательному закону распределения, если её плотность распределения вероятностей имеет вид:
f(x) =
{0, x < 0
{λ · e^(-λx), x ≥ 0
Тогда функция распределения
F(x) =
{0, x <0
{1 − e^(-λx), x ≥ 0

Математическое ожидание M(X) = стандартное отклонение σ(X) = 1/λ, дисперсия D(X) = 1/λ²

Имеем:
1) f(x) =
{0, x < 0
{0,35 · e^(-0,35x), x ≥ 0

F(x) =
{0, x < 0
{1 − e^(-0,35x), x ≥ 0

2) M(X) = 1/λ = 1/0,35 ≈ 2,857; D(X) = 1/λ² = 1/0,35² ≈ 8,163

3) P(X ≤ 3) = F(3) = 1 − e^(-0,35·3) ≈ 0,65

Answer 2

Решение аналогичной задачи разобрано, например, в "Руководстве к решению задач по теории вероятностей и математической статистике" В. Е. Гмурмана (см. задачи 346, 353, 356 в издании 1979 года)