"Summer day" или "summer's day". В предложении "It's a beautiful summer day". Если можно, объясните, почему именно так.

Если уж совсем просто, на пальцах объяснять, то в английском языке существительное может выступать в роли прилагательного (точнее определения) , если поставить его перед другим существительным.
В русском можно сказать: (последний) день лета или (погожий) летний денёк.
В английском это будет: (the last) day of summer или (glorious) summer day.
Есть небольшая разница в оттенках смысла: в первом случае лето - это время года, календарный период, во втором - под "летний" мы понимаем какие-то типичные качества присущие летнему дню (теплый\солнечный\жаркий\душный и т. д. )
Вариант с summer's возможен, но он будет нести какой-то дополнительный (скорее всего поэтический смысл, оттенок олицетворения) . Какой-нибудь "последний привет\улыбка Лета" и т. д.
В английском употребление притяжательного падежа чаще встречается, когда речь идет об одушевленных существительных (man\woman\boy\girl). С неодушевленными - это скорее традиция, просто нужно запомнить слова и выражения.
(Советую посмотреть эту темку в учебнике грамматики Krylova, Gordon "A Grammar of Present-day English", там много примеров)