Возможно ли расписаться в ЗАГСе если у девушки российский загран. паспорт а обычный утерян?

Нет, нужен общегражданский паспорт..

нет, нельзя
если девушка постоянно проживает в России

нет

Расписаться можно где угодно, когда угодно, на чем угодно. Для этого достаточно иметь в руках что-нибудь пишущее.
Вот только заключить брак не сможете по общегражданскому заграничному паспорту. Необходим "внутренний" паспорт.

Для заключения брака в ЗАГС, требуется только действующий внутренний паспорт гражданина РФ