Нужна ли в Гибдд при постановке легкового авто диагностическая карта?

Нет. Техосмотр для легковых прицепов физических лиц отменен
"Статья 32. Заключительные положения
...4. Прицепы к транспортным средствам, принадлежащие физическим лицам и имеющие разрешенную максимальную массу до трех тонн пятисот килограмм, не подлежат техническому осмотру с 1 января 2012 года."
А страховка ОСАГО для легковых прицепов физических лиц отменена еще раньше.
ПС: При постановке на учет вообще ДК не нужна - только при оформлении страховки тем ТС, которым для этого требуется действующий техосмотр.